Числовые выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок, если они нужны. Например, 7 + 3 · 2 и (12 − 4) : 2 — числовые выражения. Записи, в которых числа соединены знаками действий по правилам математики, можно вычислять; отдельное число тоже может быть выражением. Понятие помогает увидеть в записи единое целое, а не набор отдельных символов.

Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. Например, значение выражения 7 + 3 · 2 равно 13. Само выражение — запись, а его значение — результат вычисления, поэтому их не следует путать. Это различие нужно, чтобы понимать, что именно требуется найти в задаче.

Порядок действий — установленная очередность, в которой выполняют вычисления в выражении. Например, в записи 7 + 3 · 2 сначала умножают, а затем складывают. Такой порядок нужен, чтобы разные люди получили один и тот же результат, а не выбирали действия произвольно. Без общего правила запись могла бы иметь несколько прочтений.

Скобки — знаки, которые выделяют действия, выполняемые раньше остальных. В выражении (7 + 3) · 2 сначала складывают числа в скобках, а потом умножают результат на 2. Скобки могут изменить привычную очередность вычислений и повлиять на значение выражения. Если скобки вложены одна в другую, сначала рассматривают самые внутренние.

Как это устроено

Числа и знаки действий образуют выражение, потому что вместе задают последовательность вычислений и способ получить результат. Знак между числами показывает, какую операцию нужно выполнить, а порядок действий уточняет, с чего начать. Поэтому выражение можно читать как короткую инструкцию: выполнить указанные операции и получить одно число. Если правильно следовать этой инструкции, запись приводит к однозначному значению.

Скобки задают отдельную часть выражения, которую нужно вычислить раньше действий за их пределами. Иначе результат внутренних действий мог бы измениться из-за того, что к одному из чисел раньше применили умножение или деление снаружи. Например, в (3 + 5) · 2 сначала получают сумму 8, а уже затем умножают её на 2. При вложенных скобках внутренняя часть нужна для вычисления внешней, поэтому начинают с самых глубоких скобок.

После скобок учитывают приоритет арифметических действий. Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, потому что без этого запись вроде 24 : 3 + 2 · 5 могла бы дать разные результаты при произвольном выборе первого действия. Сначала получают результаты деления и умножения, а потом объединяют их сложением. Это правило действует и в длинных выражениях, где операций несколько.

Умножение с делением образуют одну ступень, а сложение с вычитанием — другую. Действия внутри каждой ступени равноправны, поэтому их выполняют слева направо, а не выбирают одно из них как всегда первое. Например, в 20 : 5 · 2 сначала делят 20 на 5 и только потом умножают результат на 2. Такой порядок сохраняет смысл записи и не допускает произвольного переставления вычислений.

Чтобы вычислить выражение, двигайся по установленной очередности и записывай промежуточные результаты. Сначала найди действия в скобках, затем выполни умножение и деление слева направо, а после — сложение и вычитание в том же направлении. После каждого шага замени выполненное действие его результатом, сохраняя остальные числа и знаки. В конце проверь, что действий не осталось и все числа учтены.

Порядок выполнения действий в числовых выражениях

Пользуйся таблицей как планом вычислений: сначала проверь скобки, затем найди действия второй и третьей ступени. Внутри каждой ступени следи за направлением слева направо. Если скобок нет, начинай сразу с умножения и деления, а затем переходи к сложению и вычитанию.

Разбор задач

Условие. Найти значение выражения 18 − 6 + 4. Здесь только сложение и вычитание, значит, действия имеют одинаковый приоритет. Поэтому нельзя сначала выбрать сложение только потому, что оно указано в выражении: нужно сохранить порядок записи и двигаться слева направо.

1. Первым слева стоит вычитание: 18 − 6 = 12.
2. Записываем промежуточный результат: 12 + 4.
3. Выполняем оставшееся сложение: 12 + 4 = 16.

Ответ: 16. Проверка порядка показывает, что сначала выполнено самое левое действие, а затем следующее; пропущенных действий нет.

Условие. Найти значение выражения 24 : 3 + 2 · 5. Скобок нет, но присутствуют действия разных ступеней. Чтобы не сложить числа раньше времени, сначала определяем деление и умножение, а сложение оставляем на следующий этап.

1. Слева направо выполняем деление: 24 : 3 = 8.
2. Выполняем умножение: 2 · 5 = 10. Получаем выражение 8 + 10.
3. Теперь складываем: 8 + 10 = 18.

Ответ: 18. Значения деления и умножения найдены до сложения, как требует порядок действий.

Условие. Найти значение выражения 48 : (2 · (3 + 5)) + 7. Здесь скобки вложены, поэтому начинаем не с деления, которое стоит левее, а с самой внутренней части. После её вычисления можно перейти к внешним скобкам и остальным действиям.

1. Внутри скобок находим сумму: 3 + 5 = 8.
2. Подставляем результат: 48 : (2 · 8) + 7. Вычисляем выражение в скобках: 2 · 8 = 16.
3. Получаем 48 : 16 + 7. Выполняем деление: 48 : 16 = 3.
4. Остаётся сложение: 3 + 7 = 10.

Ответ: 10. Скобки раскрывались от внутренних к внешним, а после них выполнены деление и сложение.

Типичные ошибки

Первая ошибка — выполнять все действия просто слева направо, не учитывая приоритет умножения и деления. Так можно, например, в 24 : 3 + 2 · 5 сначала сложить или продолжить вычисления не по правилу, и результат изменится. Обычно так происходит, когда правило слева направо ошибочно применяют ко всему выражению. Перед вычислением отметь действия в скобках и умножение с делением, а в конце проверь порядок шагов.

Другая ошибка — сначала выполнить сложение или вычитание, а потом умножение или деление. Её допускают, если начинают с первого заметного знака, не проверив, к какой ступени он относится. В результате обычный порядок действий переворачивается. Чтобы проверить себя, спроси: остались ли в выражении умножение или деление, которые нужно выполнить раньше сложения и вычитания?

Не начинай с внешних скобок, если внутри них есть вложенные. Внешнее действие нельзя завершить, пока не найдено значение заключённой в скобки части; попытка перескочить внутрь нарушает очередность и часто приводит к путанице. Отмечай самые глубокие скобки и вычисляй выражение по уровням. Проверка проста: перед переходом к следующим скобкам убедись, что внутренние уже заменены числами.

Нельзя выполнять сложение раньше вычитания или умножение раньше деления только из-за названия действия. Внутри одной ступени операции равноправны и идут слева направо. Ошибка появляется, если правило приоритета путают с отдельным приоритетом каждого знака. Проверь выражение, просматривая действия выбранной ступени от левого края и отмечая их по очереди.

Связь с другими темами

Для вычисления числовых выражений нужны навыки сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел, а также умение узнавать знаки этих действий. Правильный порядок вычислений помогает соединить знакомые операции в одну запись и найти её значение. Это правило пригодится и дальше: его используют в выражениях с дробями, степенями и буквами. Если порядок действий понятен, более сложные записи легче читать и проверять.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит из чисел, знаков действий и, возможно, скобок.
• Значение выражения — результат его вычисления.
• Действия в скобках выполняют прежде действий вне скобок.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одинакового приоритета выполняют слева направо.
• Скобки могут изменить порядок вычислений.