"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Числовое выражение помогает коротко записать вычисления, описанные словами, например в условии задачи. Чтобы составить его, нужно понять, какие числа участвуют и как они связаны: складываются, вычитаются, умножаются или делятся. Если одно действие выполняется над результатом другого, его выделяют скобками. Порядок чисел и действий влияет на смысл записи, поэтому выражение составляют по смыслу, а затем при необходимости находят его значение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок, например (8 + 5) · 2. В отличие от отдельного числа, такая запись показывает, какие вычисления нужно выполнить. Поэтому выражение позволяет представить условие задачи в коротком и точном виде.
Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. Например, значение выражения 8 + 5 равно 13. Выражение можно вычислить, если действия в нём определены, а порядок их выполнения понятен.
Порядок действий — установленная последовательность, по которой выполняют операции в выражении. Благодаря этому правилу разные люди вычисляют одну и ту же запись одинаково. Если порядок не учитывать, можно получить неверный результат даже при правильных вычислениях.
Скобки — знаки, выделяющие часть выражения и указывающие, что её действия нужно выполнить прежде остальных. Так, в записи (8 + 5) · 2 сначала находят сумму, а затем умножают её на 2. Скобки помогают точно передать смысл словесного условия.
Чтобы перевести условие в выражение, сначала найди все числа, о которых говорится, а затем выясни, какие действия связывают их. Например, если к одному количеству добавляют другое, нужна сумма; если сравнивают, сколько осталось после удаления части, — разность. Такой разбор помогает не перепутать действие и не записывать числа, которые в условии не связаны друг с другом.
Слова часто подсказывают действие: «сумма чисел» означает сложение, а «разность чисел» — вычитание. Но одного слова иногда недостаточно: нужно понять, какое число стоит на первом месте по смыслу. В выражении «разность числа 12 и числа 4» из 12 вычитают 4. Порядок слов помогает сохранить эту связь, а не просто перечислить числа.
Бывает, что сначала нужно получить промежуточный результат, а потом выполнить с ним ещё одно действие. Тогда сначала составь запись для промежуточного результата и реши, какую роль он играет в общей записи. Например, если нужно сумму умножить на число, сумма становится целым множителем и заключается в скобки. Так запись показывает не только набор операций, но и связь между их результатами.
Сравни формулировки «сумма чисел 3 и 7» и «сумма произведения чисел 3 и 7 и числа 2». Во втором случае сначала получают произведение 3 · 7, а затем прибавляют 2: 3 · 7 + 2. Скобки понадобились бы, если бы требовалось сложить числа 3 и 7, а полученную сумму умножить на 2: (3 + 7) · 2. Границы частей записи должны соответствовать тому, какие числа названы вместе.
Одинаковые числа и знаки действий могут образовать разные выражения, если по-разному расставить скобки. Например, (8 + 5) · 2 означает умножение всей суммы на 2, а 8 + 5 · 2 — прибавление к 8 произведения 5 и 2. Их значения различны: в первом случае получается 26, во втором — 18. Поэтому скобки — не украшение записи, а способ задать её смысл.
Сопоставляй словесные части условия с действиями и отмечай, какие величины входят в каждую часть. Сначала определи нужную операцию, затем порядок чисел, а после этого проверь, не нужно ли выделить скобками промежуточное действие. В таблице выражения пока только составлены: вычислять их значения нужно отдельно, если этого требует задача.
| Словесная формулировка | Числовая запись | Что сначала определить |
|---|---|---|
| Сумма чисел 8 и 5 | 8 + 5 | Какие числа складываются |
| Разность числа 12 и числа 4 | 12 − 4 | Из какого числа вычитают |
| Произведение суммы чисел 3 и 7 на 2 | (3 + 7) · 2 | Какую сумму умножают на 2 |
| Частное числа 20 и разности чисел 9 и 4 | 20 : (9 − 4) | На какую разность делят 20 |
Задача 1. Составь выражение: к числу 9 прибавить число 6. Слово «прибавить» указывает на сложение, а выражение «к числу 9» говорит, что к 9 добавляют 6. Здесь одно действие, поэтому скобки не требуются. После составления можно вычислить значение, если это нужно.
Ответ: 9 + 6.
Задача 2. Составь выражение: произведение чисел 4 и 7 уменьшить на 5. Сначала нужно понять, что именно уменьшают: это произведение чисел 4 и 7. Затем его уменьшают на 5, то есть вычитают 5 из полученного результата. Действия записываются как умножение и вычитание; умножение и так выполняется раньше вычитания, поэтому скобки не нужны.
Ответ: 4 · 7 − 5.
Задача 3. Составь выражение: частное суммы чисел 18 и 6 и числа 3. В условии говорится, что делимое — не отдельное число, а сумма 18 и 6. Значит, сначала нужно обозначить границы этой суммы, а затем разделить её на 3. Если не поставить скобки, по обычному порядку действий деление могло бы относиться только к числу 6, и смысл записи изменился бы.
Ответ: (18 + 6) : 3.
Записывать действия только в порядке слов. Так поступают, когда замечают знакомые слова, но не разбирают, что именно является результатом предыдущего действия. Например, при словах «произведение уменьшить на 5» важно сначала определить всё произведение. Проверь себя: прочитай полученную запись вслух и сравни, совпадает ли её смысл с условием.
Не ставить скобки вокруг суммы или разности, над которой выполняют другое действие. Ошибка возникает, если не выделить выражение, которое в условии названо целиком. Тогда по порядку действий умножение или деление может относиться только к одному числу. Проверь, над какой частью выполняется действие, и заключи именно эту часть в скобки.
Менять местами числа при вычитании или делении. Иногда кажется, что числа можно переставить, как при сложении, но результат тогда меняется. Например, 12 − 4 не равно 4 − 12; так же различаются 20 : 5 и 5 : 20. Проверь себя вопросом: какое число уменьшают или делят и какое число вычитают или на которое делят?
Считать выражение уже вычисленным числом. Выражение — это запись действий, а значение появляется только после их выполнения. Ошибка возникает, когда запись вроде 9 + 6 называют ответом, не выполнив сложение. Проверь, просит ли задание составить выражение или найти его значение, и выполни вычисления только во втором случае либо когда этого требует задача.
Для составления выражений нужны знания названий арифметических действий, их знаков и правил порядка действий. Они помогают понять запись, в которой несколько операций, и правильно найти её значение. Этот навык особенно полезен при решении текстовых задач: сначала условие переводят в выражение, а затем вычисляют результат. Если в задаче есть промежуточные действия, скобки помогают показать их связь.
Чем числовое выражение отличается от его значения?
Выражение — это запись чисел, знаков действий и, если нужно, скобок, например 8 + 5. Его значение — результат вычисления, в данном случае 13. Пока действия не выполнены, записано выражение, а не полученное число.
Когда при составлении выражения нужно ставить скобки?
Скобки нужны, когда действие выполняют над результатом другого действия и эту часть следует рассматривать как целое. Например, в частном суммы 18 и 6 и числа 3 записывают (18 + 6) : 3. Без скобок запись означала бы другое действие.
Как понять, какое действие скрывается за словом «уменьшить»?
Если число нужно уменьшить на другое число, из первого вычитают второе. Например, «произведение чисел 4 и 7 уменьшить на 5» записывается так: 4 · 7 − 5. Важно определить, что именно уменьшают и на сколько.
Почему при вычитании нельзя менять числа местами?
Потому что вычитание не обладает переместительным свойством: 12 − 4 = 8, а 4 − 12 = −8. При составлении записи нужно сохранить, какое число уменьшают и какое вычитают. То же правило о порядке чисел относится к делению.
Нужно ли вычислять выражение сразу после того, как его составили?
Нет, сначала достаточно правильно перевести условие в числовую запись. Вычислять значение нужно, если этого требует задача. Иногда полезно проверить составленное выражение, выполнив все действия по правилам порядка действий.
Составление числовых выражений
