Составление числовых выражений

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок, если они нужны. Например, 18 + 7 и 30 − 4 · 3 — числовые выражения, а запись 18 + — нет: в ней не хватает второго числа. Это понятие помогает отличать законченную запись действий от отдельных чисел и незавершённых записей.

Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. Например, значение выражения 18 + 7 равно 25. Различать запись и результат полезно, потому что условие задачи часто требует только составить выражение, а не вычислить его.

Порядок действий — последовательность, в которой выполняют действия в выражении. Например, в 30 − 4 · 3 сначала умножают: 4 · 3 = 12, затем вычитают: 30 − 12 = 18. Если не учитывать порядок, можно получить неверный результат и неверно передать смысл условия.

Скобки — знаки, которые объединяют часть выражения и указывают, какие действия нужно выполнить прежде остальных. В записи 30 − (4 · 3) сначала находят произведение в скобках, а затем вычитают его из 30. Скобки нужны, чтобы запись точно показывала, над каким числом или результатом выполняется действие.

Как это устроено

При составлении выражения из слов сначала выделяют числа и действия, о которых говорится в условии. Затем выясняют, что именно требуется получить: сумму, остаток, общее количество или результат деления. Такой порядок помогает не спутать данные условия с тем, что нужно найти. После этого числа соединяют подходящими знаками и проверяют, выражает ли запись нужную величину.

Слова «сумма», «разность», «произведение» и «частное» служат подсказками, потому что каждое из них называет результат определённого действия. Сумму записывают знаком +, разность — знаком −, произведение — знаком ·, частное — знаком :. Например, сумма 8 и 5 — это 8 + 5, а произведение тех же чисел — 8 · 5. Перевод слов в знаки позволяет записать условие короче и однозначнее.

Порядок слов особенно важен, когда действие не даёт одинакового результата при перестановке чисел. «Разность первого и второго числа» означает, что из первого вычитают второе; «частное первого и второго» — первое делят на второе. Например, разность чисел 12 и 5 — 12 − 5, а не 5 − 12. Если поменять числа местами, получится уже другое действие и другой результат, поэтому при записи нужно следить, какое число названо первым.

Если одно действие выполняют с результатом другого, важно показать эту связь в выражении. Скобки помогают объединить действие, результат которого используется дальше: например, удвоенную сумму чисел 3 и 4 записывают как 2 · (3 + 4). Без скобок запись 2 · 3 + 4 означала бы другое: сначала умножение, затем сложение. Значит, скобки нужны не для украшения, а чтобы запись соответствовала словам условия.

Перед вычислением стоит прочитать выражение вместе с условием и проверить каждую его часть. Убедись, что использованы все нужные числа, знак показывает нужное действие, а порядок чисел в разности и частном не перепутан. Если действие выполняют над результатом другого, проверь, выделен ли этот результат скобками. Такая проверка помогает заметить ошибку ещё до вычислений и не закреплять неверное понимание задачи.

Как переводить словесные формулировки в числовые выражения

Сначала найди в формулировке слова, которые называют действие, а затем установи, какие числа или выражения участвуют в нём. В разности и частном сохраняй порядок, указанный словами «первого и второго». Если действие выполняется над целым выражением, выдели его скобками.

Разбор задач

Задача 1. Запишите числовое выражение: сумма чисел 18 и 7. Слово «сумма» указывает на сложение, а числа 18 и 7 — слагаемые. Нужно записать действие, не выполняя его, потому что требуется именно выражение. Так мы отделяем составление записи от вычисления её значения.

1. Находим в условии числа: 18 и 7.
2. Определяем действие по слову «сумма»: сложение.
3. Записываем числа со знаком сложения: 18 + 7.
4. Проверяем: выражение содержит оба названных числа, и между ними стоит нужный знак.

Ответ: 18 + 7.

Задача 2. Запишите выражение: из произведения чисел 6 и 4 вычесть 9. Здесь сначала названо произведение, из которого нужно вычесть 9. Значит, сначала записываем умножение 6 · 4, а затем вычитание. В данном случае умножение и без скобок выполняется раньше вычитания, поэтому запись 6 · 4 − 9 сохраняет нужный смысл.

1. Выделяем первое действие: произведение чисел 6 и 4 — 6 · 4.
2. Определяем, что именно вычитают: число 9.
3. Записываем вычитание из произведения: 6 · 4 − 9.
4. Проверяем, что 9 стоит после знака минус, то есть именно его вычитают из произведения.

Ответ: 6 · 4 − 9.

Задача 3. В коробке было 30 карандашей. Взяли 4 набора по 3 карандаша. Запишите выражение, показывающее, сколько карандашей осталось. Чтобы узнать, сколько взяли, нужно найти общее число карандашей в наборах: таких наборов четыре, в каждом по три. Это произведение 4 · 3. Остаток получают, вычитая взятое количество из первоначальных 30 карандашей.

1. Записываем исходное количество карандашей: 30.
2. Находим, сколько карандашей взяли: 4 · 3, потому что по 3 карандаша взяли 4 раза.
3. Вычитаем взятое количество из того, что было: 30 − 4 · 3.
4. Проверяем порядок действий: сначала вычисляется количество в наборах, затем оно вычитается из 30.

Ответ: 30 − 4 · 3. Если найти значение, получится 18 карандашей, но для составления выражения вычисление не обязательно.

Типичные ошибки

Перестановка чисел в разности или частном. Иногда числа меняют местами, как при сложении, забывая, что вычитание и деление от этого меняются. Ошибку допускают, если не обращают внимания на слова «первого и второго». Проверь запись, перечитав её вслух: разность первого и второго — из первого вычесть второе.

Пропуск нужных скобок. Если последовательные действия записать без скобок, установленный порядок вычислений может не совпасть с условием. Так бывает, когда сначала выполняют действие над частью выражения, но не выделяют её. Проверь, ясно ли из записи, какой результат нужно получить первым; если нет, обозначь нужную часть скобками.

Путаница между «на сколько больше» и «во сколько раз больше». Первое выражение обычно требует вычитания, а второе — деления для сравнения или умножения, если ищут большее число по известному меньшему. Ошибка возникает из-за похожих слов «больше» и невнимания к вопросу задачи. Проверь, спрашивают ли о разнице или о количестве раз.

Вычисление отдельных чисел до составления записи. Если сразу выполнять действия в уме, можно потерять связь между ними или записать только результат вместо выражения. Так происходит, когда торопятся перейти от условия к ответу. Сначала обозначь все действия знаками, проверь порядок и только затем вычисляй, если этого требует задача.

Связь с другими темами

Для составления выражений нужно знать знаки арифметических действий и уметь выполнять сложение, вычитание, умножение и деление. Этот навык используют при решении текстовых задач: выражение помогает записать путь от данных к искомому числу. Он также нужен для изучения порядка действий, потому что при вычислении важно понимать устройство записи. В буквенных выражениях числа заменяют буквами, но правила записи действий и использования скобок сохраняются.

Что запомнить

• Числовое выражение составляют из чисел, знаков действий и, при необходимости, скобок.
• Слова «сумма», «разность», «произведение» и «частное» указывают на соответствующие действия.
• В разности и частном важно сохранять порядок названных чисел.
• Скобки помогают передать, какое действие выполняется над результатом другого.
• Перед вычислением проверь, соответствует ли запись условию задачи.
• Составить выражение — значит записать действия, а не обязательно сразу найти его значение.