Угол. Прямой угол

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. На чертеже у него видны точка, из которой выходят лучи, и две стороны, расходящиеся от неё. Это определение помогает отличить угол от просто двух отрезков: лучи продолжаются от общего начала дальше нарисованной части.

Вершина угла — общее начало лучей, образующих угол. Её обозначают заглавной буквой, поставленной рядом с точкой, например B. Знание вершины нужно, чтобы правильно называть угол и понимать, откуда начинаются его стороны.

Стороны угла — лучи, образующие этот угол. Оба луча выходят из одной вершины, но направлены в разные стороны. Стороны показывают раскрытие угла; их не следует считать отрезками с концами, ограничивающими фигуру.

Прямой угол — угол, который совпадает с углом клетки тетради или угольника. Его узнают, прикладывая к нему угольник: при правильном совмещении вершины и одной стороны вторая сторона угла совпадает со стороной угольника. Такой угол используют как образец для сравнения других углов.

Как это устроено

Два луча, выходящие из одной точки, образуют угол: их общее начало становится вершиной, а сами лучи — сторонами. Это удобно, потому что направление каждого луча задаёт одну границу угла, а положение лучей друг относительно друга показывает его раскрытие. Если лучи не имеют общего начала, описанная фигура углом не является.

Угол можно обозначить тремя буквами, причём букву вершины ставят посередине: например, ∠ABC имеет вершину B. Среднее положение буквы показывает, какая точка общая для сторон, а крайние буквы указывают точки на этих сторонах. Иногда используют одну букву при вершине или число, но только если рядом нет других углов, с которыми можно перепутать обозначение.

Чтобы сравнить величины двух углов, их мысленно или на чертеже накладывают друг на друга. Сначала совмещают вершины, затем одну сторону одного угла — с одной стороной другого; после этого сравнивают, где оказались вторые стороны. Такой способ позволяет сравнить именно раскрытие: размер рисунка и длина нарисованных частей лучей на результат не влияют.

Прямой угол служит удобным ориентиром, потому что его можно точно воспроизвести угольником или взять за образец по клеткам тетради. Если раскрытие меньше прямого, угол называют острым; если оно больше прямого, но меньше развёрнутого, угол тупой. Сравнение с одним и тем же образцом помогает определить вид угла без измерения длины сторон.

Угольник помогает проверить прямизну угла благодаря своему прямому углу. Его вершину совмещают с вершиной проверяемого угла, а одну сторону угольника — с одной стороной угла. Затем смотрят на вторую сторону: совпадение показывает, что угол прямой, а расхождение — что его раскрытие отличается.

Виды углов при сравнении с прямым углом

Сначала сравните раскрытие угла с прямым, а затем выберите подходящую строку таблицы. Если оно больше прямого, проверьте, что угол всё же меньше развёрнутого: это отличает тупой угол от развёрнутого.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке дан угол ABC. Назовите его вершину и стороны.

Нужно определить общую точку двух лучей и прочитать обозначения на их направлениях. В записи из трёх букв средняя буква указывает на вершину. Крайние буквы помогут назвать стороны лучами.

1. Найдём среднюю букву в обозначении ABC: это B.
2. Значит, вершина угла — точка B, общее начало обоих лучей.
3. Один луч выходит из B и проходит через A, другой выходит из B и проходит через C.

Ответ: вершина угла — B, стороны — лучи BA и BC. Порядок букв в названии сторон начинается с вершины. Поэтому луч AB здесь не подходит: он начинается в A.

Задача 2. Среди нескольких нарисованных углов найдите прямой, острые и тупые.

Нужно сравнить раскрытие каждого угла с прямым, а не оценивать длину его сторон. Угольник можно использовать как образец прямого угла. Если угол шире прямого, дополнительно проверяем, что он уже развёрнутого.

1. Приложим угольник к первому углу: совместим вершины и по одной стороне.
2. Сравним положение вторых сторон. Совпадение означает прямой угол; более узкое раскрытие — острый.
3. Если раскрытие шире прямого, но стороны ещё не образуют развёрнутый угол, это тупой угол.

Ответ: угол, совпавший с угольником, прямой; углы с более узким раскрытием острые, с более широким, но не развёрнутым, — тупые. Каждый угол надо проверять отдельно. Так можно классифицировать их, даже если рисунки имеют разный размер.

Задача 3. Начертите угол с вершиной O, одной стороной которого является луч OA, а затем проверьте, прямой ли он.

Условие задаёт вершину и одну сторону, но не задаёт положение второй стороны. Поэтому начертить можно несколько углов; чтобы проверка была содержательной, сначала проведём луч, который может образовать прямой угол с OA. Затем воспользуемся угольником.

1. Отметим точку O и проведём из неё луч OA.
2. Приложим вершину угольника к O и совместим одну его сторону с OA.
3. По другой стороне угольника проведём из O второй луч. Он образует с OA прямой угол.
4. Проверим построение: вершина угольника должна совпасть с O, а обе его стороны — с проведёнными лучами.

Ответ: построен угол с вершиной O и стороной OA, который является прямым. Если провести второй луч в другом направлении, получится угол иного вида. Для проверки нужно сравнить обе стороны угольника с обеими сторонами построенного угла.

Типичные ошибки

Ошибка: в обозначении угла тремя буквами называют вершиной первую или последнюю букву. Так делают, если читают запись как обычное имя, а не как указание на точку между сторонами. Проверьте себя: средняя буква должна обозначать общую точку лучей, как B в угле ABC.

Ошибка: считают сторонами угла отрезки конечной длины. На рисунке лучи часто изображены коротко, поэтому их можно принять за отрезки. Проверьте себя: мысленно продолжите каждую сторону от вершины в указанном направлении — у угла это лучи.

Ошибка: определяют вид угла по длине сторон или размеру рисунка. Длинные стороны могут быть у острого угла, а короткие — у тупого, потому что вид задаёт раскрытие. Проверьте себя: сравните стороны угла с прямым образцом, не обращая внимания на их длину.

Ошибка: при проверке угольником совмещают с углом только одну сторону. Тогда непонятно, совпали ли вершины и как расположена вторая сторона. Проверьте себя: поставьте вершину угольника на вершину угла, совместите одну сторону и сравните вторые стороны.

Связь с другими темами

Чтобы изучать углы, нужно уметь распознавать луч: у него есть начало и направление, а точки обозначают буквами. Эти знания позволяют определить вершину и стороны угла, а также прочитать его название. Позже углы понадобятся при изучении многоугольников, перпендикулярных прямых и измерения углов. Прямой угол поможет распознавать прямоугольные элементы фигур и отношения между прямыми.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей называется вершиной угла.
• Лучами, образующими угол, являются его стороны.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.
• Прямой угол можно проверить угольником.
• Острый угол меньше прямого, а тупой — больше прямого.