3.17. Угол. Прямой угол

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Эти лучи называются сторонами угла. Понятие угла помогает описывать поворот, наклон и форму геометрических фигур.

Вершина угла — общее начало двух лучей, образующих угол. Это точка, из которой выходят обе стороны. По вершине можно понять, где именно соединяются стороны угла.

Стороны угла — лучи, имеющие общее начало и образующие угол. Каждый луч начинается в вершине и продолжается в одном направлении. Поэтому стороны показывают не только границу угла, но и направление от его вершины.

Прямой угол — угол, равный углу, который получается при пересечении перпендикулярных прямых. Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом. Такое определение нужно, чтобы узнавать прямой угол не по его положению на листе, а по точному свойству его сторон.

Как это устроено

Угол возникает, когда из одной точки проводят два луча. Их общее начало становится вершиной, потому что именно от него начинаются оба луча. Сами лучи образуют стороны и задают направление раскрытия угла.

Угол можно обозначить одной буквой, если ясно, о какой вершине идёт речь. Например, запись ∠O означает угол с вершиной O. Если на чертеже несколько углов имеют одну вершину, одной буквы недостаточно, поэтому используют три: точка на первой стороне, вершина, точка на второй стороне.

Букву вершины при обозначении тремя буквами ставят посередине, например ∠ABC. Такая запись показывает, что вершина — B, а стороны проходят через A и C. Если поменять порядок и записать букву вершины не в центре, можно указать уже другой угол или получить неверное обозначение.

Прямой угол распознают по его сторонам: они лежат на перпендикулярных прямых. На чертеже он совпадает по форме с углом квадрата или с углом угольника. Поэтому прямой угол можно найти даже тогда, когда он не выглядит привычным горизонтальным или вертикальным углом.

Чтобы проверить угол, к нему прикладывают прямой угол угольника или шаблон. Сначала совмещают вершину шаблона с вершиной проверяемого угла, затем одну сторону — с одной стороной угла. Если другая сторона тоже совпала со второй стороной, угол прямой; поворот всего рисунка на результат не влияет.

Угол и прямой угол

В таблице собраны основные признаки двух понятий. Сначала найдите нужную строку, а затем сравните сведения в столбцах. Такая проверка помогает быстро отличить общий угол от прямого.

Разбор задач

Задача 1

Из точки O проведены лучи OA и OB. Нужно назвать вершину и стороны полученного угла. Для ответа достаточно найти общее начало лучей и перечислить сами лучи.

1. Сравниваем начала лучей OA и OB: оба луча начинаются в точке O.
2. Значит, точка O является общей точкой и вершиной угла.
3. Сторонами будут лучи OA и OB, потому что именно они выходят из вершины.

Ответ: вершина — O; стороны — лучи OA и OB.

Задача 2

На рисунке отмечен угол с вершиной B и сторонами BA и BC. Требуется записать его обозначение тремя буквами. Сначала нужно выбрать точки на сторонах, а затем поставить вершину между ними.

1. Точка A лежит на одной стороне угла, точка C — на другой.
2. Общее начало лучей BA и BC — точка B, поэтому B является вершиной.
3. Записываем буквы в порядке «сторона — вершина — сторона»: A, B, C.

Ответ: ∠ABC. Можно также записать ∠CBA, потому что вершина B в обоих обозначениях стоит посередине.

Задача 3

У угла с вершиной O одна сторона направлена по лучу OA, другая — по лучу OB. Нужно проверить, является ли угол прямым, если рисунок повёрнут. Внешний наклон чертежа не используем как признак.

1. Берём угольник и прикладываем его вершину к точке O.
2. Одну сторону прямого угла совмещаем с лучом OA.
3. Проверяем, совпадает ли другая сторона угольника с лучом OB.

Ответ: угол прямой, если луч OB совпал со второй стороной угольника. Если совпадения нет, угол не является прямым; поворот рисунка этому выводу не мешает.

Типичные ошибки

Иногда вершиной называют конец только одной стороны. Так происходит, когда смотрят на один луч и забывают о втором. Проверьте себя: вершина должна быть общей точкой начала обоих лучей.

Стороны угла ошибочно считают отрезками. Отрезок имеет два конца, а сторона угла начинается в вершине и продолжается дальше в одном направлении. Для проверки мысленно продолжите сторону за изображённую точку: если она не должна заканчиваться, это луч.

При записи тремя буквами букву вершины ставят первой или последней. Ошибка возникает из-за привычки перечислять точки без учёта их роли. Найдите общее начало сторон и поставьте его букву в середину обозначения.

Прямой угол определяют только по внешнему виду рисунка. Поворот листа или чертежа меняет положение угла, но не его величину. Приложите угольник или шаблон и сравните стороны, а не наклон изображения.

Связь с другими темами

Для изучения углов нужны понятия точки, прямой, луча и общего начала лучей. Без них трудно правильно назвать вершину и стороны угла. Поэтому эти сведения служат основой новой темы.

Углы входят в состав многоугольников. При изучении треугольников и других фигур нужно будет находить, обозначать и сравнивать их углы.

Прямой угол связан с перпендикулярностью. Эти понятия понадобятся при построениях, а также при изучении прямоугольника и квадрата.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало сторон угла — его вершина.
• Стороны угла — лучи.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.
• Прямой угол образуется при пересечении перпендикулярных прямых.
• Положение угла на рисунке не определяет, является ли он прямым.