"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Числовой отрезок — часть числовой прямой между двумя числами, причём сами граничные числа тоже входят в неё. Его обозначают [a; b], где a ≤ b, а любое число x из этого отрезка удовлетворяет неравенству a ≤ x ≤ b. Такое обозначение помогает задавать набор чисел, изображать его на прямой, проверять принадлежность чисел и находить расстояние между концами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовой отрезок — это множество чисел, расположенных на числовой прямой между двумя заданными числами, включая сами эти числа. Если границы обозначены a и b и a ≤ b, отрезок записывают [a; b]. Такая запись коротко задаёт сразу все числа от a до b, а не только два числа на концах.
Числа a и b называют концами числового отрезка. Оба конца принадлежат отрезку: в записи [a; b] число a задаёт левую границу, а b — правую, если a ≤ b. Понимание этого помогает не исключить крайние значения, когда мы перечисляем числа или проверяем, входит ли число в отрезок.
Длина числового отрезка — расстояние между его концами. При a ≤ b длина отрезка [a; b] равна b − a. Она показывает, насколько далеко концы расположены друг от друга, и не зависит от того, какие числа лежат между ними.
Чтобы изобразить отрезок [a; b] на числовой прямой, сначала отмечают точки с координатами a и b, а затем выделяют часть прямой между ними. Концы отмечают как принадлежащие отрезку, потому что они включены в множество. Такое изображение помогает увидеть, где отрезок начинается и заканчивается, и сравнить его положение с другими числами.
В обозначении [a; b] стоят квадратные скобки, потому что числа на границах входят в отрезок. Если бы крайние числа не включались, это было бы уже другое множество и для него использовалась бы другая запись. Поэтому по скобкам можно сразу понять, относятся ли концы к рассматриваемому набору чисел.
Запись [a; b] можно заменить двойным неравенством a ≤ x ≤ b. Здесь x — любое число отрезка: оно не меньше a и не больше b. Обратно, если дано неравенство a ≤ x ≤ b, все его решения составляют отрезок [a; b]; знаки ≤ сохраняют включение обоих концов.
Длину находят по координатам концов, вычитая меньшее число из большего. При a ≤ b получаем b − a: это разность координат правого и левого концов, то есть расстояние между ними. Например, если концы имеют координаты −3 и 4, длина равна 4 − (−3) = 7, а не разности в обратном порядке.
Если известен один конец и требуется построить отрезок заданной длины, от этой точки откладывают указанное расстояние по числовой прямой. Направление выбирают по условию: вправо координаты увеличиваются, влево — уменьшаются. Так, от точки с координатой 2 можно отложить 3 единицы вправо и получить второй конец с координатой 5.
| Что рассматриваем | Как записать | Что это означает |
|---|---|---|
| Числовой отрезок с концами a и b, где a ≤ b | [a; b] | Все числа от a до b включительно |
| Принадлежность числа x отрезку | x ∈ [a; b], или a ≤ x ≤ b | x не меньше a и не больше b |
| Числа, принадлежащие отрезку | a ≤ x ≤ b | Каждое число x между концами, включая a и b |
| Длина отрезка | b − a | Расстояние между концами при a ≤ b |
Сначала найдите в таблице, какая запись соответствует поставленному вопросу: обозначение задаёт весь отрезок, а неравенство помогает проверить отдельное число. Чтобы найти длину, определите, какое из чисел является большим, и вычтите меньшее из большего. Знаки ≤ в строках о принадлежности напоминают, что граничные значения включены.
Изобразить на числовой прямой отрезок [2; 5] и записать все целые числа, принадлежащие ему. Сначала отмечаем координаты 2 и 5 и выделяем часть прямой между ними. Поскольку скобки квадратные, оба конца нужно включить.
Ответ: отрезок изображается между 2 и 5 с включёнными концами; целые числа — 2, 3, 4, 5. Проверка простая: каждое перечисленное число не меньше 2 и не больше 5.
Записать с помощью неравенства множество чисел отрезка [−3; 4] и определить, принадлежат ли ему числа −3, 0 и 5. Отрезок включает все числа между концами, поэтому для x выполняются два ограничения. Проверим каждое предложенное число по этим границам.
Ответ: −3 ≤ x ≤ 4; число −3 принадлежит отрезку, число 0 принадлежит, число 5 не принадлежит. Равенство на границе допустимо именно потому, что концы включены.
На числовой прямой отмечены точки A(−2) и B(6). Найти длину отрезка AB и координату точки, расположенной на нём на расстоянии 3 единиц от A в направлении B. Координата A меньше координаты B, поэтому движение от A к B идёт вправо, то есть координата увеличивается.
Ответ: длина AB равна 8, координата искомой точки — 1. Проверка показывает, что точка расположена между концами, а расстояние от неё до A составляет 1 − (−2) = 3.
Ошибка: считать, что концы не входят в отрезок. Такое случается, если воспринимать отрезок только как часть между границами и не учитывать смысл квадратных скобок. Проверьте себя по записи [a; b]: числа a и b должны входить в множество, а на рисунке граничные точки должны быть отмечены как включённые.
Ошибка: записывать длину как a − b, не проверив порядок чисел. При таком вычитании можно получить отрицательное значение, хотя расстояние не бывает отрицательным. Сначала сравните координаты и вычитайте меньшую из большей; для a ≤ b длина равна b − a.
Ошибка: путать точки числовой прямой с их координатами. Точка — место на прямой, а координата — число, которое это место задаёт; рисунок без числовых отметок не всегда позволяет точно найти расстояние. Сверяйте координаты концов и вычисляйте длину по ним, а не на глаз.
Ошибка: заменять в двойном неравенстве знаки ≤ на <. Так числа, равные концам, перестают удовлетворять условию и исключаются из отрезка. Для проверки подставьте a и b: оба должны проходить условие принадлежности [a; b], поэтому нужны знаки ≤.
Для работы с числовыми отрезками нужно уметь изображать числа на числовой прямой и сравнивать их. Сравнение показывает, какое число является левым концом, а какое — правым, и помогает правильно вычислить длину. Знание отрезков пригодится при решении неравенств: их решения часто описывают как числа, лежащие в заданных границах. Также отрезок помогает задавать промежутки числовой прямой и наглядно представлять набор допустимых значений.
Что называют числовым отрезком?
Это множество всех чисел между двумя заданными числами, включая сами эти числа. Если концы равны a и b и a ≤ b, отрезок обозначают [a; b].
Почему в записи отрезка используются квадратные скобки?
Квадратные скобки показывают, что оба граничных числа входят в отрезок. Поэтому a и b принадлежат [a; b].
Как проверить, принадлежит ли число заданному отрезку?
Нужно проверить, не меньше ли число левого конца и не больше ли правого. Для отрезка [a; b] это означает проверить неравенство a ≤ x ≤ b.
Как записать числовой отрезок с помощью неравенства?
Для отрезка [a; b], где a ≤ b, записывают двойное неравенство a ≤ x ≤ b. Оно перечисляет все числа x от a до b включительно.
Как найти длину числового отрезка?
Из координаты правого конца вычитают координату левого. Если a ≤ b, длина отрезка [a; b] равна b − a.
3.16. Числовой отрезок
