3.15. Мерка. Единичный отрезок

Определения и обозначения

Мерка — отрезок, которым измеряют другой отрезок. Например, меркой может быть полоска бумаги или деление линейки заданной длины. Чтобы сравнивать результаты измерений, нужно пользоваться одной и той же меркой: иначе одинаковые числа могут соответствовать разным длинам.

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. Если единицей выбрана полоска длиной 1 см, измерения ведут в сантиметрах. Выбор единичного отрезка задаёт масштаб: один и тот же отрезок при разных единицах выражается разными числами.

Измерить отрезок — значит определить, сколько раз выбранная мерка укладывается в нём, или выразить длину через эту мерку. Это позволяет вместо непосредственного сравнения отрезков работать с числом и единицей. Если целое число укладываний не получается, длину можно выразить через доли мерки.

Числовая мера отрезка — число, показывающее, сколько единичных отрезков содержится в измеряемом. Например, если в отрезке помещаются семь выбранных единиц, его числовая мера равна 7 в этих единицах. Число зависит от выбора единицы, поэтому длину записывают не одним числом, а вместе с названием единицы.

Как это устроено

Чтобы сравнить длины двух отрезков, их можно приложить друг к другу концами. Тогда видно, какой длиннее, если они помещаются рядом и их удобно совместить. Когда отрезки находятся далеко друг от друга или их нельзя переместить, пользуются общей меркой: измеряют каждый одним и тем же отрезком и сравнивают результаты. Общность мерки необходима, потому что число укладываний зависит от её длины.

При измерении мерку последовательно откладывают вдоль измеряемого отрезка. Каждую следующую копию ставят там, где закончилась предыдущая, иначе часть длины останется неучтённой или будет посчитана дважды. Поэтому концы соседних копий должны соприкасаться, но сами копии не должны накладываться. Такой порядок позволяет точно сосчитать, сколько одинаковых мерок занимает весь отрезок.

Если мерка укладывается целое число раз без остатка, это число и показывает длину в выбранных единицах. Например, пять укладываний означают длину 5 единиц. Если после целых укладываний остаётся участок, его сравнивают с меркой и выражают как часть единицы. Так можно получить, например, 3½ единицы, если к трём целым меркам добавилась половина следующей.

Числовая мера меняется, когда меняют единичный отрезок, потому что считают уже другие по размеру кусочки. В одном и том же отрезке короткая единица помещается чаще, а длинная — реже. Например, если измерить длину сначала крупными шагами, а затем мелкими, число шагов станет другим, хотя пройденное расстояние не изменится. Значит, сравнивать числовые меры можно только с учётом размеров единиц.

Запись длины должна сообщать не только число, но и то, какой отрезок считается единицей. Если написано только 6, непонятно, речь идёт о шести сантиметрах, метрах или условных единицах. Единицу можно указать прямо в записи, например 6 см. В задаче с условной меркой можно заранее договориться, какой отрезок принят за единицу, и использовать эту договорённость во всех измерениях.

Измерение отрезка выбранной меркой

Сначала найдите, какая именно мерка или единица используется, а затем определите число её укладываний. Последний столбец помогает проверить, можно ли сравнивать полученные числа напрямую. Если единицы разные, сначала нужно учесть их длины или привести измерения к одной единице.

Разбор задач

Задача 1. Отрезок AB равен 8 см. Сколько сантиметровых единичных отрезков укладывается в AB? Здесь единица уже задана: это отрезок длиной 1 см. Нужно узнать, сколько таких отрезков составляют длину AB.

1. Длина одного единичного отрезка равна 1 см, а длина AB — 8 см. Поэтому число единиц находим делением 8 см на 1 см. Получаем 8 единиц.
2. Проверка: восемь отрезков по 1 см вместе составляют 8 см. Значит, подсчёт соответствует длине AB. Ответ: в AB укладываются 8 сантиметровых единичных отрезков.

Задача 2. Длина отрезка равна 12 см. Выразить её в единичных отрезках длиной 3 см. Сантиметр здесь не является искомой единицей: меркой служит отрезок длиной 3 см. Поэтому нужно выяснить, сколько таких мерок помещается в 12 см.

1. Разделим длину всего отрезка на длину одной мерки: 12 : 3 = 4. Полученное число показывает количество единичных отрезков по 3 см. Единицы измерения при делении одинаковы, поэтому в ответе получаем число мерок.
2. Проверим умножением: 4 отрезка по 3 см дают 12 см. Значит, выбранная мерка укладывается ровно четыре раза. Ответ: длина равна 4 единичным отрезкам по 3 см.

Задача 3. Один и тот же отрезок измерили двумя мерками: первая укладывается в нём 5 раз, вторая — 10 раз. Какая мерка длиннее и во сколько раз? Длина измеряемого отрезка в обоих случаях одна и та же. Значит, мерка, которая укладывается меньшее число раз, должна быть длиннее.

1. Первая мерка заняла весь отрезок за 5 укладываний, а вторая — за 10. Поэтому длиннее первая мерка. Чтобы узнать, во сколько раз, сравним количества: 10 : 5 = 2.
2. Проверим смысл результата: вторая мерка вдвое короче первой, поэтому в том же отрезке помещается вдвое больше таких мерок. Ответ: первая мерка длиннее второй в 2 раза.

Типичные ошибки

• Сравнивают числа, полученные с разными единицами. Так делают, потому что записанные результаты выглядят как обычные числа, а длина мерок может остаться незамеченной. Проверка: прежде чем сравнить значения, выясните, одинаковы ли единицы; если нет, приведите измерения к одной единице.
• Оставляют промежутки или накладывают мерки. При аккуратном откладывании легко ошибиться на стыках, поэтому часть отрезка может потеряться или посчитаться дважды. Проверка: совмещайте конец одной копии с началом следующей и осматривайте весь измеряемый отрезок.
• Считают, что числовая мера не меняется при смене единицы. Это происходит, если число воспринимают как саму длину, хотя оно показывает количество выбранных единиц. Проверка: сравните размер старой и новой мерки — короткая помещается чаще, поэтому число меняется.
• Записывают длину только числом. Единицу могут не указать по привычке или посчитать её очевидной, но для читателя она может быть неизвестна. Проверка: спросите себя, понятно ли, какой отрезок принят за единицу; добавьте обозначение единицы или укажите договорённость.

Связь с другими темами

Для работы с меркой нужно знать, что такое отрезок, и уметь сравнивать отрезки наложением. Эти умения помогают понять, почему число измерений зависит от выбранной единицы. Измерение отрезков понадобится при работе с линейкой и переводе единиц длины: при переводе меняется числовая запись, а сама длина остаётся прежней. Выбор единичного отрезка также нужен для построения координатного луча, где единица задаёт расстояние между соседними отметками.

Что запомнить

• Мерка служит для измерения другого отрезка.
• Единичный отрезок принимают за единицу длины.
• Числовая мера показывает, сколько единиц содержится в отрезке.
• Результат измерения зависит от выбранной единицы.
• Чем короче единица, тем больше раз она укладывается в том же отрезке.
• При записи длины указывают единицу измерения.