3.18. Прямоугольник

Определения и обозначения

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые. Это определение описывает прямоугольник через его главное отличие: каждый угол равен 90°. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то есть обладает его свойствами и дополнительно имеет прямые углы.

Стороны, не имеющие общей вершины, называют противоположными, а стороны с общей вершиной — соседними. Например, в прямоугольнике ABCD стороны AB и CD противоположные, а AB и BC соседние. Такое различение помогает правильно применять свойства: равны именно противоположные стороны.

Диагональ прямоугольника — отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В прямоугольнике ABCD отрезки AC и BD — диагонали. Буквенные обозначения позволяют точно указывать, о какой стороне, вершине или диагонали идёт речь при записи решения.

Как это устроено

У прямоугольника все углы прямые, поэтому при пересечении пары противоположных сторон секущей односторонние углы оказываются прямыми. Их сумма равна 90° + 90° = 180°. Если односторонние углы в сумме дают 180°, прямые параллельны, значит, обе пары противоположных сторон прямоугольника параллельны. Поэтому прямоугольник — параллелограмм.

У параллелограмма противоположные стороны равны, а противоположные углы равны. Эти свойства переходят к прямоугольнику, потому что он является параллелограммом. Следовательно, AB = CD и BC = AD, а противоположные углы также попарно равны. Соседние стороны при этом могут различаться.

По определению каждый угол прямоугольника равен 90°, поэтому все четыре угла равны. Их сумма составляет 4 · 90° = 360°, как и сумма углов любого четырёхугольника. Это согласуется со свойством параллелограмма: соседние углы в сумме дают 180°, а противоположные равны.

Чтобы доказать равенство диагоналей, сравним треугольники ABC и DCB. У них AB = DC как противоположные стороны, BC — общая сторона, а углы ABC и DCB прямые. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Их соответствующие стороны AC и BD равны, то есть диагонали прямоугольника равны.

Если у параллелограмма один угол прямой, соседний с ним угол равен 180° − 90° = 90°. Противоположные углы равны, поэтому два оставшихся угла также прямые. Получается, что все четыре угла фигуры прямые, а значит, по определению это прямоугольник. Так формулируют признак прямоугольника.

Определение и свойства прямоугольника

Используй таблицу, чтобы выбрать нужное свойство по условию задачи: например, для сравнения сторон или диагоналей. Различай свойства, которые есть у любого параллелограмма, и прямые углы, характерные для прямоугольника. Признак применяй, когда требуется доказать, что данный параллелограмм является прямоугольником.

Разбор задач

Задача 1

В параллелограмме один угол равен 90°. Нужно определить остальные углы и назвать полученную фигуру. Здесь достаточно использовать связь соседних и противоположных углов параллелограмма. Затем проверим, подходит ли фигура под определение прямоугольника.

1. Соседний с прямым углом угол дополняет его до 180°, поэтому равен 180° − 90° = 90°.
2. Противоположные углы параллелограмма равны, значит, два оставшихся угла также равны 90°.
3. Все четыре угла прямые, поэтому параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: остальные углы равны 90°; полученная фигура — прямоугольник.

Задача 2

Периметр прямоугольника равен 30 см, одна сторона — 6 см. Требуется найти соседнюю сторону. Периметр — это сумма длин всех сторон, а противоположные стороны прямоугольника равны. Поэтому достаточно учесть по одной длине каждого вида сторон.

1. Обозначим неизвестную соседнюю сторону через x см.
2. Запишем периметр: 2 · (6 + x) = 30, так как каждая из двух длин встречается дважды.
3. Разделим обе части на 2: 6 + x = 15. Тогда x = 15 − 6 = 9.
4. Проверим: 6 + 9 + 6 + 9 = 30 см, условие выполнено.

Ответ: другая сторона равна 9 см.

Задача 3

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Дано AC = 10 см и AB = 6 см; нужно найти BD, AO и AD. Сначала применим свойства диагоналей, а для стороны используем прямоугольный треугольник ABC. Его гипотенуза AC, а катеты — AB и BC, причём BC = AD.

1. Диагонали прямоугольника равны, поэтому BD = AC = 10 см.
2. Точка пересечения делит диагонали пополам: AO = AC : 2 = 10 : 2 = 5 см.
3. По теореме Пифагора в треугольнике ABC: AB² + BC² = AC².
4. Подставим данные: 6² + BC² = 10², значит, BC² = 100 − 36 = 64 и BC = 8 см.
5. Противоположные стороны равны, следовательно, AD = BC = 8 см.

Ответ: BD = 10 см, AO = 5 см, AD = 8 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать равенство противоположных сторон и углов достаточным для определения прямоугольника. Такие свойства есть у любого параллелограмма, в том числе у параллелограмма без прямых углов. Это смешение свойств параллелограмма и прямоугольника легко проверить: выясни, указано ли, что хотя бы один угол прямой. Для вывода о прямоугольнике нужно знать, что все углы прямые, или воспользоваться признаком.

Ошибка: утверждать, что соседние стороны прямоугольника равны. Обычно равны противоположные стороны, а соседние имеют общую вершину и могут различаться; равенство всех сторон характерно для квадрата. Путаница возникает из-за того, что в квадрате оба свойства выполняются одновременно. Проверь себя: сравни стороны, не имеющие общей вершины, и не переноси свойство квадрата на любой прямоугольник.

Ошибка: считать диагонали прямоугольника перпендикулярными. Из свойств прямоугольника следует, что диагонали равны, но это не означает, что они пересекаются под углом 90°. Перпендикулярность диагоналей не обязательна и встречается, например, у квадрата. В решении используй только те свойства диагоналей, которые следуют из условия или доказаны отдельно.

Ошибка: путать равные диагонали с равными половинами или неверно называть отрезки. Точка пересечения делит каждую диагональ пополам, а поскольку диагонали равны, равны и все четыре их половины. Например, если O — точка пересечения, то AO = OC и BO = OD. Для проверки установи, на какой именно диагонали лежит каждый отрезок.

Связь с другими темами

Перед изучением прямоугольника пригодятся определения четырёхугольника и параллелограмма, его свойства, а также правила о параллельных прямых и углах. Они объясняют, почему прямоугольник относится к параллелограммам и какие свойства получает от этой фигуры. Позже прямоугольник поможет решать задачи на доказательство, находить периметр и стороны, изучать квадрат и применять теорему Пифагора. Например, диагональ и две стороны образуют прямоугольный треугольник.

Что запомнить

• Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
• Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны.
• Каждый угол прямоугольника равен 90°.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
• Параллелограмм с одним прямым углом является прямоугольником.