Прямоугольник

Определения и обозначения

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые. Иначе говоря, каждая пара соседних сторон встречается под прямым углом. По этому условию отличают прямоугольник от других четырёхугольников.

Вершины прямоугольника — точки, в которых соединяются его стороны. Их обозначают заглавными буквами, например A, B, C и D. Обозначения нужны, чтобы точно называть точки и описывать фигуру.

Стороны прямоугольника — отрезки, образующие его границу. У прямоугольника четыре стороны; противоположные стороны не имеют общей вершины. Названия сторон помогают понять, какие именно отрезки сравнивают или измеряют.

Прямой угол — угол, равный 90°. У прямоугольника прямыми являются все четыре угла. Это признак, по которому его распознают и отличают от похожих фигур.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли четырёхугольник прямоугольником, нужно рассмотреть все его углы. Если хотя бы один угол не прямой, условие определения не выполнено. Удобно прикладывать угольник к каждому углу по очереди: так можно проверить не только те углы, которые кажутся прямыми на глаз.

Прямоугольник обозначают буквами вершин, например ABCD. Буквы записывают по порядку, двигаясь вдоль границы: от A к B, затем к C и D. Благодаря этому сразу понятно, какие вершины соседние, а какие стоят напротив друг друга; запись ADBC, например, не описывает последовательный обход границы.

Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны. Это связано с устройством фигуры: две пары её противоположных сторон ограничивают прямые углы и идут в одном направлении, поэтому они не пересекаются; длины сторон каждой такой пары совпадают. Это свойство помогает находить неизвестную сторону и периметр, если известны длина и ширина.

Соседние стороны имеют общую вершину, поэтому встречаются под прямым углом. Каждая такая пара образует угол в 90°, а не произвольный угол. Если стороны обозначены последовательно, например AB и BC, они соседние, потому что соединяются в точке B.

Прямоугольник определяют по углам, а не только по внешнему сходству. Фигура может выглядеть прямоугольной из-за масштаба рисунка или неточного чертежа, хотя один из её углов не прямой. Поэтому внешний вид помогает предположить ответ, но проверка углов даёт основание для вывода.

Основные признаки и свойства прямоугольника

Сначала найди в таблице элемент, о котором идёт речь: угол, сторону или вершину. Затем используй соответствующее свойство для проверки фигуры или решения задачи. Строка о квадрате показывает, что квадрат не исключение, а особый прямоугольник.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке изображены прямоугольник и несколько других четырёхугольников. Нужно найти прямоугольник. Сначала не выбирай фигуру только по тому, насколько ровными кажутся её стороны. Решение зависит от величины углов.

1. Убедимся, что каждая рассматриваемая фигура имеет четыре стороны.
2. Проверим углы каждой фигуры: у прямоугольника все четыре должны быть прямыми.
3. Выберем фигуру, у которой ни один угол не отличается от прямого; остальные четырёхугольники исключим.

Ответ: прямоугольник — четырёхугольник с четырьмя прямыми углами.

Задача 2

Прямоугольник обозначен ABCD. Нужно назвать его стороны, вершины и противоположные стороны. Поскольку буквы указаны подряд, они задают порядок обхода границы фигуры. Это помогает не перепутать соседние стороны с противоположными.

1. Вершины перечислим по обозначениям: A, B, C и D.
2. Стороны запишем по порядку: AB, BC, CD и DA.
3. Найдём пары сторон без общей вершины: AB и CD, а также BC и DA.

Ответ: вершины — A, B, C, D; стороны — AB, BC, CD, DA; противоположные стороны — AB и CD, BC и DA.

Задача 3

Длина прямоугольника равна 7 см, ширина — 3 см. Нужно найти периметр, то есть сумму длин всех сторон. Противоположные стороны равны, поэтому обе длинные стороны имеют длину 7 см, а обе короткие — 3 см.

1. Запишем длины сторон по порядку: 7 см, 3 см, 7 см и 3 см.
2. Сложим их: 7 + 3 + 7 + 3 = 20.
3. Укажем единицу измерения, поскольку складывали сантиметры.

Ответ: периметр равен 20 см.

Типичные ошибки

Ошибка — назвать прямоугольником любую фигуру, которая выглядит похожей. Так можно ошибиться из-за неточного чертежа или невнимательности. Проверь все четыре угла угольником: у прямоугольника каждый из них прямой.

Иногда считают, что прямоугольник обязательно должен лежать горизонтально. Такое представление возникает потому, что в примерах его часто рисуют ровно относительно края страницы. Поверни рисунок мысленно: если углы остаются прямыми, положение фигуры не меняет её свойств.

Соседние стороны могут быть ошибочно названы противоположными, если смотреть только на их длину. Соседние стороны соприкасаются в вершине, а противоположные — нет. Проверь, имеют ли выбранные отрезки общую вершину: если имеют, они соседние.

Квадрат иногда не считают прямоугольником, потому что у него все стороны равны. Путают условие о прямых углах с условием о длинах сторон. Для проверки вернись к определению: раз у квадрата четыре прямых угла, он подходит под него.

Связь с другими темами

Для изучения прямоугольника нужно уметь различать отрезок, вершину, угол и прямой угол. Отрезки образуют стороны, а в вершинах встречаются соседние стороны и получаются углы. Если эти понятия знакомы, легче описывать фигуру и проверять её свойства.

Свойства прямоугольника пригодятся при изучении периметра и площади. Равенство противоположных сторон помогает записать длины всех сторон, чтобы найти периметр. Знание формы и размеров прямоугольника также понадобится, когда будут изучать вычисление площади фигур.

Что запомнить

• У прямоугольника четыре стороны и четыре вершины.
• Все четыре угла прямоугольника прямые.
• Противоположные стороны прямоугольника равны.
• Противоположные стороны прямоугольника параллельны.
• Соседние стороны прямоугольника образуют прямой угол.
• Квадрат является прямоугольником.