26. Прямоугольник

Определения и обозначения

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые, то есть равны 90°. Его вершины обычно обозначают буквами A, B, C и D, а стороны — отрезками AB, BC, CD и DA. Это определение позволяет отличить прямоугольник от других четырёхугольников по главному признаку — прямым углам.

Противоположные стороны — стороны, которые не имеют общей вершины: в прямоугольнике это AB и CD, а также BC и AD. Они равны по длине и параллельны, поэтому для описания фигуры достаточно знать две соседние стороны. Их часто обозначают буквами a и b, где a — длина, а b — ширина.

Периметр — длина всей границы фигуры, а площадь — размер части плоскости, занимаемой фигурой. Для прямоугольника периметр обозначают P и вычисляют по формуле P = 2(a + b), а площадь обозначают S и находят по формуле S = ab. Периметр измеряют в единицах длины, например сантиметрах, а площадь — в квадратных единицах, например см².

Как это устроено

У прямоугольника четыре прямых угла, поэтому каждая пара соседних сторон перпендикулярна. Перпендикулярными называют прямые, пересекающиеся под углом 90°. Из этого свойства следует, что противоположные стороны имеют одинаковое направление и не пересекаются, то есть параллельны.

Равенство противоположных сторон можно объяснить тем, что прямоугольник состоит из двух одинаковых пар полос, ограниченных параллельными сторонами. Поэтому, если длина одной горизонтальной стороны равна a, противоположная ей сторона тоже равна a; аналогично обе другие стороны равны b. Благодаря этому вместо сложения четырёх разных отрезков в периметре можно дважды сложить только a и b.

Формула периметра получается из сложения всех сторон: P = a + b + a + b. Объединяя одинаковые слагаемые, получаем P = 2a + 2b = 2(a + b). Скобки показывают, что сначала складывают длину и ширину, а затем удваивают результат, потому что каждая из этих сторон встречается два раза.

Площадь прямоугольника находят умножением длины на ширину, потому что фигуру можно разбить на равные единичные квадраты. Если в одном ряду помещается a единичных отрезков, а таких рядов b, всего получится ab квадратов. Поэтому S = ab, причём единицы длины предварительно должны быть одинаковыми.

Свойства и формулы прямоугольника

Таблица помогает быстро выбрать нужное свойство или формулу в зависимости от известных данных. Перед вычислениями проверь, что все длины выражены в одних единицах, а в ответе для площади указаны квадратные единицы.

Разбор задач

Задача. Длина прямоугольника равна 8 см, а ширина — 5 см. Найдём его периметр и площадь. Сначала определим, какие величины известны: a = 8 см и b = 5 см, поэтому можно применить обе основные формулы.

1. Найдём периметр по формуле P = 2(a + b). Подставим значения: P = 2 · (8 + 5) = 2 · 13 = 26 см.
2. Найдём площадь по формуле S = ab. Получим S = 8 · 5 = 40 см².
3. Проверим единицы измерения: периметр измеряется в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах. Это подтверждает, что результаты записаны правильно.

Ответ: периметр прямоугольника равен 26 см, площадь равна 40 см². Ход решения показывает, почему для периметра складывают длину и ширину и умножают на 2, а для площади перемножают две соседние стороны. Если в условии требуется только одна величина, вторую формулу использовать не обязательно.

Рассмотрим обратный случай: площадь прямоугольника равна 36 см², а одна сторона — 4 см. Неизвестную сторону находят делением площади на известную сторону, потому что из равенства S = ab следует b = S : a. Значит, b = 36 : 4 = 9 см; проверка 4 · 9 = 36 см² подтверждает результат.

Типичные ошибки

Путают периметр и площадь. Периметр описывает границу и измеряется в сантиметрах, а площадь показывает размер внутренней части и измеряется в квадратных сантиметрах. Чтобы проверить себя, посмотри на единицу ответа и спроси, требуется ли длина границы или количество квадратных единиц внутри фигуры.

Складывают только длину и ширину при нахождении периметра. Такое выражение a + b учитывает лишь две стороны, хотя у прямоугольника четыре стороны. Нужно использовать P = 2(a + b) или сложить a + b + a + b.

Используют разные единицы измерения. Например, длину записывают в метрах, а ширину — в сантиметрах, и сразу перемножают эти числа. Сначала переведи величины в одинаковые единицы, затем вычисляй и не забудь возвести единицу в квадрат при нахождении площади.

Связь с другими темами

Прямоугольник связан с изучением четырёхугольников: его свойства помогают распознавать параллелограмм и отличать квадрат как частный случай прямоугольника. Формулы P = 2(a + b) и S = ab нужны при решении уравнений с неизвестной стороной. На координатной плоскости прямоугольник удобно строить по точкам с одинаковыми значениями координат, а его площадь можно находить по разности координат вершин.

Что запомнить

• Прямоугольник — четырёхугольник с четырьмя прямыми углами.
• Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.
• Периметр вычисляют по формуле P = 2(a + b).
• Площадь вычисляют по формуле S = ab.
• Периметр измеряют в единицах длины, площадь — в квадратных единицах.
• Квадрат является прямоугольником, у которого все стороны равны.