Нумерация

Определения и обозначения

Натуральные числа — это числа, которые используют при счёте: 1, 2, 3 и так далее. В принятой в учебнике договорённости нуль натуральным числом не считается. Это множество нужно, чтобы обозначать количество предметов и их порядок.

Цифра — один из десяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. С помощью цифр записывают числа, как с помощью букв записывают слова. Число выражает количество, а цифра является только знаком записи.

Разряд числа — место цифры в его записи, связанное с определённым количеством единиц. Одна и та же цифра в разряде единиц, десятков или сотен обозначает разные количества. Знание разрядов помогает читать числа, сравнивать их и выполнять вычисления.

Десятичная система счисления — способ записи чисел, в котором используются десять цифр, а соседние разряды отличаются в десять раз. Группировка начинается с единиц: десять единиц образуют десяток, десять десятков — сотню. Поэтому положение цифры в записи определяет её значение.

Как это устроено

Любое число записывают, выбирая нужные цифры и располагая их в определённом порядке. Например, из цифр 3 и 7 можно получить 37 или 73, но это разные числа. В записи 37 цифра 3 обозначает три десятка, а цифра 7 — семь единиц; в записи 73 их значения меняются местами.

Разряды возникают из последовательной группировки единиц по десять. Десять единиц заменяют одной десяткой, десять десятков — одной сотней, десять сотен — одной тысячей. Поэтому каждый следующий разряд содержит в десять раз больше единиц, чем предыдущий: одна сотня равна десяти десяткам, а одна тысяча — десяти сотням.

Разрядный состав показывает, сколько единиц каждого разряда есть в числе. Например, число 5 208 034 можно представить так: 5 000 000 + 200 000 + 8 000 + 30 + 4. Слагаемые с нулевым количеством единиц обычно не записывают, но соответствующие места в исходной записи учитывают.

Нуль нужен, когда в каком-либо разряде нет единиц. В числе 5 208 034 нуль показывает отсутствие сотен тысяч, тысяч и сотен, но не позволяет сдвинуть соседние цифры. Если убрать нуль из записи, получится другое число с другими разрядами.

Для чтения большие числа разделяют справа налево на классы по три разряда. Первый класс — единицы, затем идут классы тысяч, миллионов, миллиардов; внутри каждого класса находятся единицы, десятки и сотни. При чтении называют ненулевые классы слева направо, а класс единиц обычно произносят без специального названия.

Разряды и разрядный состав числа

Чтобы пользоваться таблицей, найдите цифру и определите её место справа налево. Затем умножьте цифру на количество единиц соответствующего разряда. Например, цифра 8 в числе 5 208 034 означает 8 тысяч, то есть 8 000.

Разбор задач

Задача 1

Прочитать число 47 306 и указать, сколько в нём десятков, сотен и тысяч. Сначала определим место каждой цифры, чтобы не перепутать сам разряд с количеством единиц этого разряда.

1. Запишем разряды справа налево: 6 единиц, 0 десятков, 3 сотни, 7 тысяч, 4 десятка тысяч.
2. В разрядном составе числа есть 0 десятков, 3 сотни и 7 тысяч.
3. Если требуется назвать общее количество полных десятков, оно равно 4 730, но в вопросе о цифрах разрядов указывают именно 0, 3 и 7.

Ответ: 0 десятков, 3 сотни, 7 тысяч; цифры в этих разрядах — 0, 3 и 7.

Задача 2

Запишем цифрами число «триста пять тысяч семьдесят два». Удобно разделить его на класс тысяч и класс единиц, потому что название «тысяч» сразу задаёт границу между группами.

1. Класс тысяч — «триста пять тысяч», поэтому записываем 305 и добавляем название класса.
2. Класс единиц — «семьдесят два», то есть 072; нуль нужен на месте сотен.
3. Соединяем классы без пробела в вычислении: 305 и 072 дают запись 305 072.

Ответ: 305 072.

Задача 3

Представим число 6 040 305 в виде суммы разрядных слагаемых и прочитаем его. Сначала выделим классы: 6 миллионов, 040 тысяч и 305 единиц.

1. Ненулевые разряды имеют значения 6 000 000, 40 000, 300 и 5.
2. Нулевые сотни тысяч, тысячи, десятки и другие отсутствующие разряды в сумму не включаем.
3. Получаем: 6 040 305 = 6 000 000 + 40 000 + 300 + 5.
4. Читаем классы слева направо: шесть миллионов, сорок тысяч, триста пять.

Ответ: 6 040 305 = 6 000 000 + 40 000 + 300 + 5; «шесть миллионов сорок тысяч триста пять».

Типичные ошибки

Некоторые считают нуль натуральным числом, потому что он обозначает количество отсутствующих предметов. Причина ошибки — разные договорённости в справочниках и учебниках. Проверьте определение именно в используемом курсе: здесь натуральный ряд начинается с единицы.

Цифру путают с числом, называя, например, 7 в записи 7 000 «числом тысяч». Цифра 7 — знак, а число 7 000 выражает количество. Для проверки замените цифру словами по её разряду: это семь тысяч, а не просто цифра семь.

При чтении многозначного числа иногда пропускают класс, содержащий нули, или неправильно называют соседние разряды. Из-за этого число меняет значение. Разделите запись на группы по три цифры и прочитайте каждую группу слева направо.

Записывая число словами, забывают нули в неназванных разрядах: например, 305 превращают в 35. Так сотни исчезают, и получается другое число. Полезно сначала записать каждый класс из трёх мест, а незаполненные места обозначить нулями.

Связь с другими темами

До изучения нумерации нужно уметь считать предметы, сравнивать количества и понимать порядок чисел на числовом луче. Эти навыки помогают связать запись числа с его величиной и местом среди других чисел.

Разрядная запись используется при сравнении многозначных чисел, округлении и письменных вычислениях. Цифры сравнивают начиная со старшего разряда, а при сложении и вычитании располагают одноимённые разряды друг под другом.

Что запомнить

• Числа записывают с помощью цифр.
• В десятичной записи значение цифры зависит от её места.
• Каждый следующий разряд содержит в десять раз больше единиц, чем предыдущий.
• Нуль показывает, что в соответствующем разряде нет единиц.
• Многозначное число удобно читать по классам, считая справа налево.
• Разрядный состав числа можно представить суммой разрядных слагаемых.