"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Письменное умножение помогает быстро умножать большие числа, не разбивая вычисление на длинные устные примеры. Для этого цифры многозначного числа умножают на однозначный множитель по очереди, начиная с единиц. В каждом разряде записывают единицы полученного произведения, а десятки переносят к следующему разряду. Такой порядок опирается на разрядный состав числа и распределительное свойство умножения. Чтобы не ошибиться, нужно учитывать переносы и сохранять нулевые разряды.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многозначное число — число, в записи которого две или более цифр. Значение каждой цифры определяется её местом: например, в числе 324 цифра 3 означает 300, цифра 2 — 20, а цифра 4 — 4. Это помогает понимать, какие части числа мы умножаем, когда выполняем вычисление столбиком.
Однозначное число — число, записанное одной цифрой, например 3 или 8. В этой теме оно выступает множителем, на который умножают многозначное число. Поскольку у него нет собственных десятков и сотен, можно по очереди умножать на него цифры каждого разряда первого числа.
Разряд — позиция цифры в записи числа: единицы, десятки, сотни, тысячи и далее. Справа налево разрядные единицы возрастают в десять раз: 1, 10, 100, 1000; поэтому их связывают со степенями числа 10. Разряды нужны, чтобы при вычислении сохранять правильное значение каждой цифры.
Перенос в следующий разряд — запись десятков полученного произведения над следующим разрядом слева и их прибавление при следующем умножении. Например, если в разряде единиц получилось 24, то 4 остаётся в единицах, а 2 десятка переносятся к десяткам. Благодаря переносу результат записывается цифрами, а не длинной суммой.
Умножение начинают справа, с разряда единиц, потому что его результат сразу можно записать в единицы, а возможные десятки передать в следующий разряд. Затем таким же образом обрабатывают десятки, сотни и остальные разряды. Так перенос всегда движется в одну сторону — влево, и его легко учесть при следующем действии. Если начать со старшего разряда, для записи результата пришлось бы заранее знать, сколько добавится из разрядов справа.
Алгоритм можно объяснить через разложение числа на разрядные слагаемые. Например, 324 = 300 + 20 + 4, поэтому 324 · 3 = 300 · 3 + 20 · 3 + 4 · 3. Это применение распределительного свойства: множитель умножается на каждое слагаемое, а произведения складываются. Запись столбиком выполняет эти действия компактно, а перенос помогает складывать части результата, не выписывая все промежуточные числа.
При умножении одной цифры на множитель полученное двузначное число нужно разделить на единицы и десятки. Единицы записывают в текущем разряде, потому что они относятся именно к нему, а десятки переносят в разряд слева. Если к произведению прибавлен перенос, разделяют на единицы и десятки уже полученную сумму. Например, при вычислении 8 · 3 + 2 получается 26: записываем 6, переносим 2.
Ноль в исходном числе не отменяет необходимости пройти соответствующий разряд. Если при умножении нуля прибавляется перенос, результатом разряда будет этот перенос; если переноса нет, в разряде результата ставят 0. Пропускать нулевую позицию нельзя: цифры слева тогда окажутся не на своих местах и будут означать другие разрядные значения. Поэтому каждый разряд исходного числа получает своё место и в ответе.
Проверка помогает заметить ошибки, которые не видны в самой записи столбиком. Оценка показывает примерный размер ответа: например, число можно округлить до ближайших десятков или сотен и прикинуть произведение. Затем результат делят на однозначный множитель: должно получиться исходное число. Эти способы дополняют друг друга: оценка выявляет неверный порядок величины, а обратное действие — ошибки в цифрах.
Пользуйся таблицей, двигаясь от первой строки к последней: каждый раз обрабатывай очередной разряд справа налево. Перенос прибавляй именно к произведению следующей цифры, а не записывай как отдельную цифру в том же разряде. Последний перенос, если он остался после старшей цифры, становится началом результата слева.
| Ситуация | Что умножаем | Что записываем в разряде результата | Что делаем с десятками |
|---|---|---|---|
| Умножение цифры единиц | Цифру единиц на однозначный множитель | Единицы полученного произведения | Десятки переносим к разряду десятков |
| Умножение цифры десятков с учётом переноса | Цифру десятков на множитель и прибавляем перенос | Единицы полученной суммы в разряде десятков | Десятки переносим к сотням |
| Умножение цифры сотен с учётом переноса | Цифру сотен на множитель и прибавляем перенос | Единицы полученной суммы в разряде сотен | Десятки переносим к следующему разряду |
| Умножение следующих разрядов по тому же правилу | Очередную цифру на множитель и прибавляем перенос | Единицы суммы в соответствующем разряде | Десятки передаём разряду слева |
| Обработка последнего переноса после умножения старшей цифры | Отдельно цифры не умножаем | Записываем оставшийся перенос слева от полученных цифр | Перенос становится старшей частью результата |
Задача 1. Вычислить 324 · 3. Начинаем с единиц и последовательно движемся влево. На каждом шаге отделяем единицы произведения от десятков, чтобы перенос не потерялся. Запишем действия по разрядам.
Ответ: 972. Проверим смысл результата: 324 · 3 — это 300 · 3 + 20 · 3 + 4 · 3, то есть 900 + 60 + 12 = 972. Перенос из единиц превратил 12 единиц в 1 десяток и 2 единицы, поэтому цифры ответа стоят в подходящих разрядах.
Задача 2. Вычислить 4 706 · 8. В числе есть ноль в разряде сотен, поэтому этот разряд нужно сохранить в записи. Продвигаемся справа налево и не пропускаем позицию, даже если умножение нуля даёт ноль. Проверим, что каждый шаг занимает свой разряд.
Ответ: 37 648. В разряде сотен результата стоит 6, полученная при умножении цифры 7; разряд десятков обозначен цифрой 4, возникшей из переноса в нулевой разряд. Если бы нулевой разряд исходного числа просто пропустили, цифры результата могли бы сдвинуться и ответ оказался бы неверным.
Задача 3. Вычислить 38 507 · 6 и проверить результат оценкой и делением. Здесь перенос появляется в нескольких разрядах, поэтому важно каждый раз прибавлять только текущий перенос. Начинаем справа и после обработки старшей цифры записываем остаток слева. Затем проверим ответ двумя способами.
Ответ: 231 042. Для оценки округлим 38 507 примерно до 40 000: произведение должно быть около 240 000, и 231 042 подходит по величине. Проверка делением: 231 042 : 6 = 38 507, значит, обратное действие возвращает исходное число.
Если начинать со старшего разряда, можно не учесть переносы, которые появятся справа, или запутаться при размещении цифр результата. Так бывает, когда умножение воспринимают как действие над цифрами слева направо, забывая о разрядной записи. Проверяй направление: первый шаг всегда относится к единицам, а затем переходи к десяткам и дальше влево.
Другая ошибка — записать полное произведение цифры, не отделив единицы от десятков. Например, после 4 · 3 = 12 нельзя записать 12 в разряд единиц: это сместит остальные цифры. Запиши 2, а 1 перенеси к десяткам. Для самопроверки посмотри, что в каждом разряде ответа находится только одна цифра, кроме возможной записи остатка слева в конце.
При наличии нуля в середине числа иногда пропускают соответствующую позицию в результате. Причина — ноль кажется незначащим, хотя в записи числа он удерживает место разряда. Умножь ноль на множитель, прибавь перенос, если он есть, и запиши результат на его месте. Сверь количество разрядов и расположение цифр с выполнением по шагам.
Можно забыть перенос при следующем умножении или прибавить его дважды. Это случается, если перенос записали над цифрой, но не включили в вычисление, либо одновременно прибавили его к произведению и оставили отдельной цифрой в ответе. После каждого шага отмечай, какой перенос получился, а на следующем шаге используй его ровно один раз. Проверка делением поможет обнаружить такую ошибку.
До этой темы нужно знать разрядный состав многозначного числа, таблицу умножения и сложение многозначных чисел: они помогают понимать и выполнять переносы. Связь с распределительным свойством объясняет, почему можно умножать каждое разрядное слагаемое отдельно, а затем объединять результаты. Этот алгоритм пригодится при письменном делении, решении текстовых задач и вычислении значений выражений. Уверенное выполнение действий по разрядам также помогает проверять, разумен ли полученный ответ.
Почему умножение начинают именно с единиц?
Перенос из каждого разряда прибавляют при умножении следующей цифры слева. Поэтому удобнее начинать с единиц: у них нет переноса из разряда справа. Так переносы можно последовательно учитывать, не пропуская ни одного.
Куда записывать десятки, которые получились при умножении цифры?
В разряде, который сейчас умножаем, записывают только единицы произведения. Полученные десятки переносят в следующий разряд слева и прибавляют к результату следующего умножения.
Что делать, если в многозначном числе есть ноль?
Ноль тоже умножают на однозначный множитель, прибавляя перенос из предыдущего разряда. В соответствующем разряде результата записывают получившуюся цифру, обычно это ноль. Разряд нельзя пропускать, иначе цифры результата сместятся.
Как не забыть учесть перенос при умножении следующего разряда?
После каждого умножения сразу отделяй единицы произведения от десятков: единицы записывай, десятки держи как перенос. Затем прибавляй перенос к произведению следующей цифры. Полезно отмечать перенос над следующим разрядом.
Как быстро проверить результат умножения?
Сначала оцени порядок результата: произведение должно быть близко к произведению округлённых множителей. Затем раздели полученный результат на однозначный множитель. Если деление возвращает исходное многозначное число, умножение выполнено верно.
Умножение многозначного числа на однозначное число
