Сложение и вычитание величин

Определения и обозначения

Величина — свойство предмета или явления, которое можно измерить и выразить числом с указанием единицы. Например, длина стола может быть равна 120 см, а масса яблока — 150 г. Такое описание нужно, чтобы сравнивать предметы и выполнять вычисления с результатами измерений.

Однородные величины — величины одного вида, например две длины или две массы. Их можно складывать и вычитать, потому что результат таких действий тоже будет иметь тот же смысл: общая длина или разность масс. Длину и массу складывать нельзя: это разные свойства, и их нельзя объединить в одну величину.

Единица измерения — принятая единица, которой измеряют величину: метр, килограмм, час и другие. Число показывает, сколько таких единиц содержится в величине: например, 5 м — это пять метров. Единица нужна, чтобы правильно понять число и не спутать разные результаты измерения.

Соотношение единиц измерения — равенство, показывающее, сколько единиц одного наименования содержится в другой. Например, 1 м = 100 см, значит, каждый метр можно заменить ста сантиметрами. Такие равенства помогают переводить величины в удобные единицы перед сложением или вычитанием.

Как это устроено

Складывать и вычитать можно только однородные величины. При сложении двух длин получается длина, а при сложении двух масс — масса; поэтому действия имеют понятный смысл. Если же к длине прибавить массу, результат не будет ни расстоянием, ни массой, так что сначала проверь, какой вид величины дан в каждом слагаемом.

Когда величины записаны в разных единицах, их удобно привести к общей единице перед вычислением. Например, 2 м и 30 см можно выразить в сантиметрах: 2 м = 200 см, поэтому вместе получится 230 см. Это нужно потому, что числа, относящиеся к разным единицам, нельзя просто складывать как обычные слагаемые: 2 + 30 не означает ни 2 м 30 см, ни их общую длину. Выбери единицу, в которой вычислять проще, а результат запиши так, чтобы единица соответствовала числу.

Составная величина содержит несколько единиц одного вида, например километры и метры или часы и минуты. При сложении складывай отдельно значения одинаковых наименований: километры с километрами, метры с метрами. Если меньших единиц получилось не меньше, чем требуется для одной большей, преобразуй их по соотношению единиц. Например, 1200 м — это 1 км 200 м, а не просто 1200 м, если ответ нужно записать в километрах и метрах.

При вычитании составных величин иногда меньших единиц в уменьшаемом не хватает. Тогда одну большую единицу заменяют соответствующим количеством меньших: 1 ч — это 60 мин, а 1 м — 100 см. После замены число минут или сантиметров увеличивается, а число часов или метров уменьшается на единицу; сама величина при этом не меняется. Так можно выполнить вычитание в каждом разряде, не изменяя исходное значение.

Ответ записывают с единицей измерения, потому что число само по себе не сообщает, что именно получилось. Затем проверь, правдоподобен ли результат: сумма двух положительных длин должна быть больше каждой из них, а при вычитании из большей величины меньшей разность должна быть меньше уменьшаемого. Для проверки полезно оценить ответ приблизительно или выполнить обратное действие. Например, к разности можно прибавить вычитаемое и убедиться, что получилось исходное число.

Правила сложения и вычитания величин

Сначала найди в таблице строку, которая подходит к записи примера, и выполни указанное действие с единицами. В составных величинах следи за тем, чтобы складывать или вычитать только значения одинаковых наименований. После вычисления проверь, не нужно ли перевести часть меньших единиц в большие.

Разбор задач

Вычислите: 3 м + 2 м.

В обеих частях записи указаны метры, поэтому это однородные величины с одинаковой единицей. Можно сложить числовые значения, не выполняя перевод единиц. В ответе сохраняем метры, потому что складывали метры.

1. Складываем числа: 3 + 2 = 5.
2. Приписываем единицу измерения: получаем 5 м.
3. Проверяем смысл: пять метров больше, чем три метра и два метра по отдельности.

Ответ: 5 м.

Вычислите: 4 км 250 м + 1 км 900 м.

Каждая величина записана в километрах и метрах. Удобно сначала сложить значения одинаковых наименований, а затем проверить, не набралось ли целое число километров из метров. Для этого используем соотношение 1000 м = 1 км.

1. Складываем километры: 4 км + 1 км = 5 км.
2. Складываем метры: 250 м + 900 м = 1150 м.
3. Преобразуем метры: 1150 м = 1 км 150 м.
4. Прибавляем полученный километр к 5 км: 5 км + 1 км 150 м = 6 км 150 м.

Ответ: 6 км 150 м. Проверка: 150 м меньше 1000 м, значит, в записи не осталось лишнего полного километра.

Вычислите: 3 ч 45 мин − 1 ч 58 мин.

Минут меньше не хватает для вычитания: 45 меньше 58. Поэтому заменяем один час из уменьшаемого на 60 минут. После замены 3 ч 45 мин превращаются в 2 ч 105 мин, потому что общая продолжительность не изменилась.

1. Заменяем 1 час на 60 минут: 3 ч 45 мин = 2 ч 105 мин.
2. Вычитаем минуты: 105 мин − 58 мин = 47 мин.
3. Вычитаем часы: 2 ч − 1 ч = 1 ч.
4. Объединяем результаты: получаем 1 ч 47 мин.

Ответ: 1 ч 47 мин. Проверка обратным действием: 1 ч 47 мин + 1 ч 58 мин = 3 ч 45 мин.

Типичные ошибки

Нельзя складывать величины разных видов, например длину и массу. Такая ошибка возникает, когда внимание сосредоточено только на числах, а не на том, что они измеряют. Перед действием назови вид каждой величины: если один вид не совпадает, сложение или вычитание не имеет смысла.

Не складывай числа, записанные в разных единицах, как будто они обозначают одно и то же. Например, 2 м + 30 см — это не 32 м и не 32 см; путаница возникает из-за пропущенного перевода единиц. Проверь соотношение единиц и либо вырази обе величины в одной единице, либо считай отдельно метры и сантиметры.

При сложении составных величин не оставляй избыток меньших единиц без преобразования, если его можно выразить большей единицей. Например, 120 см можно записать как 1 м 20 см, поскольку 100 см = 1 м. Ошибку помогает обнаружить проверка: в записи метров и сантиметров должно оставаться меньше 100 см.

При вычитании нельзя просто уменьшить число больших единиц, забыв прибавить к меньшим соответствующую замену. Если занять 1 час, нужно добавить к минутам 60, а если 1 метр — добавить к сантиметрам 100. Проверь себя сложением: заменённая запись должна обозначать ту же величину, что и исходная, а разность вместе с вычитаемым должна давать уменьшаемое.

Связь с другими темами

Для вычислений нужны знания единиц длины, массы и времени, а также соотношений между ними. Например, чтобы перевести метры в сантиметры, нужно помнить, что 1 м = 100 см. Эта связь помогает выбрать единицу, в которой удобно считать.

Сложение и вычитание величин опираются на действия с натуральными числами. Ещё понадобится умение читать составные именованные числа, например 2 км 350 м, и раскладывать их по единицам. Эти навыки позволяют не путать значение величины с числом в одной отдельной единице.

Умение вычислять с величинами используется в задачах на расстояние, время и массу. Оно помогает находить общий путь, продолжительность события или массу нескольких предметов. В таких задачах важно не только выполнить действие, но и выбрать единицу, подходящую к ответу.

Что запомнить

• Складывать и вычитать можно только однородные величины.
• Перед действием величины в разных единицах удобно привести к общей единице.
• Единицы одинакового наименования складывают и вычитают отдельно.
• При преобразовании величины используют соотношения единиц измерения.
• При вычитании можно заменить одну большую единицу соответствующим количеством меньших.
• В ответе обязательно указывают единицу измерения.