"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Величины описывают свойства предметов и явлений: длину, массу, время и другие. Чтобы сложить или вычесть их, сначала убедитесь, что они относятся к одному виду и выражены в одинаковых единицах. Затем выполните действие с числовыми значениями и запишите единицу измерения. Если единицы разные, переведите величины, используя точное соотношение между ними. Так можно правильно решать и короткие примеры, и практические задачи с несколькими действиями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Именованное число — это число вместе с единицей измерения, например 5 см или 2 кг. Запись 5 см сообщает, что речь идёт о длине, а запись 5 сама по себе показывает только число и не говорит, что именно измерено. Единица помогает понять смысл числа и правильно выполнять действия с величинами.
Однородные величины — величины одного вида, выраженные в одинаковых или разных единицах. Например, сантиметры и метры обозначают длину, граммы и килограммы — массу, секунды и часы — время. Понимание однородности помогает определить, какие величины можно складывать и вычитать.
Единица измерения — условная единица, с помощью которой измеряют величину: метр для длины, килограмм для массы, секунда для времени. Когда складывают или вычитают именованные числа, результат относится к тому же виду величины, поэтому единица сохраняется. Например, 4 см + 3 см = 7 см, а не просто 7.
Складывать и вычитать можно только величины одного вида, потому что результат действия должен описывать одно и то же свойство. Сантиметры и метры — разные единицы длины, поэтому их можно объединить после согласования единиц. А сантиметры и секунды относятся к длине и времени: сумма таких величин не имеет понятного смысла.
Если однородные величины записаны в одинаковых единицах, действуют с их числовыми значениями и оставляют эту единицу в ответе. Например, 8 кг − 3 кг = 5 кг: из восьми килограммов убрали три килограмма. Единица не меняется, потому что обе исходные величины измерены в килограммах и результат тоже измеряет массу.
Когда единицы разные, перед вычислением удобно привести величины к одной единице. Иначе числовые значения показывают разные доли одной и той же величины: метр состоит из ста сантиметров, поэтому 2 м и 30 см нельзя считать как 2 и 30 равных единиц. Общая единица делает все слагаемые или уменьшаемое и вычитаемое сопоставимыми.
После перевода используют точное соотношение единиц, а затем выполняют обычное сложение или вычитание. Например, 2 м = 200 см, поэтому 2 м + 30 см = 200 см + 30 см = 230 см. При переводе в меньшие единицы число увеличивается, а при переводе в более крупные — уменьшается: 230 см = 2,3 м.
В конце полезно оценить, подходит ли ответ к условию по величине и единицам. Если складывали несколько длин, ответ не должен оказаться меньше каждого слагаемого; если отрезали часть ткани, остаток должен быть короче исходного рулона. При необходимости переведите результат в более удобные единицы, например 230 см запишите как 2 м 30 см.
| Вид величины | Единицы | Соотношение единиц | Что сделать перед сложением или вычитанием |
|---|---|---|---|
| Длина | мм, см, дм, м, км | 1 см = 10 мм; 1 дм = 10 см; 1 м = 10 дм; 1 км = 1000 м | Привести длины к одной единице или складывать и вычитать по разрядам составной записи. |
| Масса | г, кг | 1 кг = 1000 г | Перевести значения в граммы или записать обе величины в килограммах и граммах. |
| Время | с, мин, ч | 1 мин = 60 с; 1 ч = 60 мин | Выбрать общую единицу, помня, что соотношение не десятичное. |
| Площадь | см², дм², м² | 1 дм² = 100 см²; 1 м² = 100 дм² | Перевести площади в одинаковые единицы, учитывая квадратное соотношение. |
Найди в таблице нужный вид величины и проверь соотношение между единицами. Затем выбери общую единицу, удобную для вычисления, и только после перевода выполняй действие. Для составных величин иногда удобно отдельно работать с крупными и мелкими единицами.
Задача 1. Вычислите: 7 м 35 см + 2 м 40 см. Обе величины измеряют длину и уже записаны в одинаковых разрядах, поэтому можно складывать метры отдельно от сантиметров. Сантиметров получится меньше ста, значит, переводить их в метры не потребуется.
Ответ: 9 м 75 см. Такой способ удобен, если значения крупных единиц и остатков можно складывать отдельно. Если бы сантиметров получилось 100 или больше, их следовало бы перевести в метры.
Задача 2. Вычислите: 5 кг 200 г − 2 кг 750 г. Вычесть 750 г из 200 г напрямую нельзя, поэтому займём 1 кг у пяти килограммов. Один килограмм равен 1000 г, и после обмена запись станет 4 кг 1200 г.
Ответ: 2 кг 450 г. Можно проверить вычисление, переведя обе величины в граммы: 5200 г − 2750 г = 2450 г. А 2450 г — это 2 кг 450 г.
Задача 3. Из рулона ткани длиной 12 м отрезали 3 м 75 см, а затем ещё 2 м 80 см. Сколько ткани осталось? Нужно найти остаток после двух отрезаний, поэтому выполняем два вычитания. Чтобы не путаться при обмене метров и сантиметров, выразим все длины в сантиметрах.
Ответ: 545 см, или 5 м 45 см. От рулона отрезали всего 375 см + 280 см = 655 см, поэтому остаток должен быть меньше исходных 1200 см. Проверка сходится: 1200 см − 655 см = 545 см.
Складывают величины разного вида. Например, запись 3 м + 4 с неверна: метры измеряют длину, а секунды — время. Ошибку допускают, когда обращают внимание только на числа; проверь себя, назвав вид каждой величины и единицу результата.
Складывают числа в разных единицах напрямую. Например, 2 м + 30 см — это не 32 м, потому что метр и сантиметр не равны. Такая ошибка возникает из-за привычки сразу складывать числа; переведи метры в сантиметры или представь результат как составную величину.
Неверно переводят единицы. При переходе к меньшим единицам число должно увеличиться, а к более крупным — уменьшиться; ошибка в направлении запятой нарушает это правило. Ещё раз проверь соотношение единиц и прикинь, может ли результат быть больше или меньше исходного значения.
Забывают занять единицу при вычитании составных величин. Если в уменьшаемом меньше сантиметров, чем нужно вычесть, нельзя получить отрицательное число сантиметров и оставить метры без изменения. Замените 1 м на 100 см, а 1 кг — на 1000 г, затем проверьте, что общая величина до и после обмена одинакова.
Для вычислений с величинами нужно знать, как измеряют длину, массу, время и другие свойства, и уметь записывать результат измерения. Также пригодятся действия с натуральными числами и десятичными дробями, а ещё навык перевода из одних единиц в другие. Эти знания применяются в практических задачах на измерения и помогают вычислять площади, объёмы и скорость, где важно правильно учитывать единицы.
Можно ли складывать величины, если они записаны в разных единицах?
Можно, если это однородные величины, например метры и сантиметры. Перед вычислением их нужно выразить в одинаковых единицах либо складывать отдельно значения разных единиц в составной записи.
Почему нельзя складывать длину и время?
Длина и время описывают разные свойства, поэтому их нельзя объединить в одну величину. Например, сумма 3 м и 4 с не имеет смысла.
Как понять, в какую сторону переводить единицы измерения?
Определите, какая единица крупнее и во сколько раз. При переводе в более мелкие единицы числовое значение увеличивается, а при переводе в более крупные — уменьшается.
Как вычитать величины, если в меньшей единице вычитаемое больше?
Займите одну единицу старшего разряда и переведите её в меньшие единицы. Например, 1 кг можно заменить на 1000 г, после чего вычитание станет возможным.
Нужно ли переводить ответ обратно в составные единицы?
Не обязательно: ответ можно оставить в тех единицах, в которых удобнее считать. Если требуется составная запись, разделите результат на количество меньших единиц в одной крупной и запишите остаток.
3.71. Сложение и вычитание величин
