3.72. Величины. Решение задач

Определения и обозначения

Единица измерения — условная единица, которой выражают величину. Например, длину можно измерять в сантиметрах или метрах, а массу — в граммах или килограммах. Число без единицы может быть недостаточным: запись «длина равна 4» не сообщает, это 4 см, 4 м или другая длина. Единица уточняет смысл числа и позволяет понять результат.

Числовое значение величины — число, показывающее, сколько выбранных единиц содержится в измеряемой величине. Если лента имеет длину 2 м, её числовое значение в метрах равно 2. В сантиметрах значение будет другим, хотя сама лента останется той же. Это понятие помогает сравнивать результаты измерений, записанные в одной единице.

Соотношение единиц измерения — равенство, показывающее, сколько единиц одного наименования составляют единицу другого наименования. Например, 1 м = 100 см, поэтому метры можно переводить в сантиметры и обратно. Такое соотношение нужно, когда величины требуется сравнить или сложить, но они выражены по-разному. Оно также помогает не угадывать перевод, а выполнять его правильно.

Математическая модель задачи — запись условия с помощью величин, чисел и связей между ними, которая помогает выбрать действия для решения. В неё входят известные данные, искомая величина и отношения между ними. Например, фраза «на 7 кг меньше» задаёт связь между двумя массами. Модель нужна, чтобы решать задачу по её смыслу, а не просто выполнять действия с числами из условия.

Как это устроено

Результат измерения зависит от выбранной единицы, потому что одна и та же величина может содержать разное количество крупных и мелких единиц. Например, длина 2 м равна 200 см: в сантиметрах получается большее число, но сама длина не меняется. Поэтому число измерения имеет смысл только вместе с единицей. Сравнивать числовые значения напрямую можно, если единицы одинаковы.

Чтобы складывать или сравнивать величины в разных единицах, их сначала приводят к одинаковым единицам. Иначе складываются числа, относящиеся к разным масштабам: 2 м и 30 см нельзя считать как 2 + 30. Можно перевести всё в сантиметры или всё в метры, используя соотношение единиц. После перевода действие над числами будет соответствовать действию над самими величинами.

Формулировки условия подсказывают связь между величинами, а связь — подходящее арифметическое действие. Если спрашивают, «на сколько» одно значение больше другого, нужно найти разность. Если спрашивают, «во сколько раз» оно больше, находят отношение делением. А выражение «столько-то за единицу времени» помогает определить величину за один час, минуту или другую единицу, а затем использовать её для расчёта.

При решении полезно обозначить известные величины и ту, которую требуется найти. Затем нужно установить, как они связаны, и составить план: какие промежуточные значения понадобятся и в каком порядке выполнять действия. Так возникает математическая модель задачи — схема из величин, данных и отношений между ними. Она помогает заметить, если какое-то число из условия пока не связано с искомым или нужного промежуточного шага не хватает.

После вычислений важно проверить, отвечает ли результат вопросу, подходит ли ему единица и правдоподобно ли значение. Единица показывает, что именно найдено: масса, длина, время или другая величина. Проверка смысла помогает обнаружить ошибку, даже если арифметические действия выполнены верно. Например, при одинаковой скорости за большее время автомобиль должен проехать большее расстояние, а не меньшее.

Величины и действия с ними при решении задач

Сначала найди в условии величины и единицы, а затем проверь, одинаковы ли единицы там, где предстоит вычисление. Следующая строка помогает определить связь между данными и выбрать действие. В конце сверь единицу ответа с вопросом задачи.

Разбор задач

Перевод длины

Длина ленты равна 2 м 35 см. Нужно выразить её в сантиметрах. Здесь известны две части одной длины, но записаны они в разных единицах. Чтобы сложить их, сначала переведём метры в сантиметры.

1. Используем соотношение 1 м = 100 см. Тогда 2 м = 2 · 100 см = 200 см.

2. Добавляем оставшиеся 35 см: 200 см + 35 см = 235 см. Складываем именно сантиметры, поэтому части длины теперь выражены одинаково.

Ответ: 235 см. Результат больше 200 см, что согласуется с тем, что к 2 м добавили ещё 35 см.

Масса яблок в двух ящиках

В одном ящике 18 кг яблок, а в другом на 7 кг меньше. Нужно узнать общую массу яблок в двух ящиках. Фраза «на 7 кг меньше» задаёт разность: масса второго ящика меньше первой на 7 кг. Значит, сначала найдём её, а затем сложим массы.

1. Находим массу яблок во втором ящике: 18 кг − 7 кг = 11 кг. Вычитание подходит, потому что искомая масса меньше известной на указанное количество килограммов.

2. Складываем массы двух ящиков: 18 кг + 11 кг = 29 кг. Единицы одинаковы, поэтому складывать числовые значения можно.

Ответ: 29 кг яблок. Проверяем смысл: в двух ящиках вместе должно быть больше, чем в одном, а 29 кг больше 18 кг.

Расстояние при постоянной скорости

Автомобиль проехал 180 км за 3 часа. Нужно узнать, сколько километров он проедет за 5 часов при той же скорости. Поскольку скорость не меняется, за каждый час автомобиль проходит одинаковое расстояние. Сначала найдём это расстояние за один час, а потом учтём все 5 часов.

1. Находим расстояние за один час: 180 км : 3 ч = 60 км за час. Делим общий путь на число часов, чтобы определить расстояние за одну единицу времени.

2. Умножаем расстояние за час на 5: 60 км за час · 5 ч = 300 км. Часы учитывают, сколько одинаковых часовых отрезков пути нужно сложить.

Ответ: 300 км. Это больше, чем 180 км за 3 часа, что правдоподобно: при той же скорости автомобиль ехал дольше.

Типичные ошибки

Складывают или сравнивают числа с разными единицами, не переводя их к одинаковым. Такая ошибка возникает, когда внимание сосредоточено на числах, а не на величинах, которые они обозначают. Например, 2 м + 30 см нельзя вычислить как 2 + 30. Проверь единицы каждого числа и сначала вырази все данные в одинаковых единицах.

Путают «на несколько единиц больше» и «в несколько раз больше». В первой формулировке говорится о разности, во второй — об отношении, поэтому действия различаются: вычитание и деление. Путаница появляется, если выбирать действие по знакомому слову, не разбирая смысл связи. Проверь себя вопросом: ищется разница между значениями или во сколько раз одно значение содержит другое?

Записывают ответ только числом или указывают неподходящую единицу. Это часто случается, когда после вычислений ученик забывает, какую величину спрашивали. Например, найденную массу нельзя записать в сантиметрах. Проверь, что в ответе есть единица и она соответствует вопросу — длине, массе, времени или другой величине.

Выполняют действия с числами из условия, не выяснив, какие величины они обозначают и как связаны. Тогда можно выбрать вычисление, которое формально использует данные, но не отвечает на вопрос. Такая ошибка возникает при слишком быстром чтении задачи. Составь краткую схему: что известно, что нужно найти и какие отношения даны; затем проверь, объясняет ли каждое действие эту связь.

Связь с другими темами

Для решения задач с величинами понадобятся арифметические действия с натуральными числами и знание соотношений основных единиц измерения. Этот навык встречается в задачах на движение, покупки, длину, массу, время и другие свойства предметов. Умение выделить величины и записать связи между ними готовит к изучению отношений и пропорций. Позже та же идея математической модели помогает составлять уравнения и находить неизвестные.

Что запомнить

• У любой величины в ответе должна быть указана подходящая единица измерения.
• Перед вычислением с величинами в разных единицах приведи их к одинаковым единицам.
• «На сколько» обычно указывает на разность, а «во сколько раз» — на отношение.
• Сначала установи связи между величинами, затем выбирай действия.
• После решения проверь вычисления, единицы и соответствие ответа вопросу.