"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Решение задачи — это последовательный переход от её условия к ответу на вопрос. Для этого нужно понять, какие величины известны и как они связаны, выбрать подходящую математическую модель — например, схему, выражение или уравнение — и выполнить вычисления. Важно не угадывать действие по отдельному слову, а объяснять каждый шаг смыслом задачи. В конце результат проверяют по условию и записывают с нужным наименованием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Условие задачи — это сведения о величинах и связи между ними. Отдели известные данные от неизвестных: так станет понятнее, какие сведения уже есть и чего пока не хватает для решения. Например, слова «положили ещё» указывают, что количество изменилось. Но само по себе это выражение ещё не говорит, на какой вопрос нужно ответить.
Вопрос задачи — указание на то, что требуется найти. Прочитай его отдельно и своими словами скажи, какой результат нужен: общее количество, стоимость, расстояние или другая величина. Это помогает не подменить заданный вопрос другим, на который легче ответить. В конце решения ответ должен прямо называть именно искомую величину.
Математическая модель — запись ситуации с помощью рисунка, схемы, выражения или уравнения. Она показывает данные и отношения между ними так, чтобы ход решения был виден яснее. Для простого изменения количества может хватить выражения, а для задачи с неизвестным удобно составить уравнение. Выбирай такую форму, в которой легко увидеть, что известно и как это связано с искомым.
Проверка решения — сопоставление полученного результата с условием и вопросом задачи. Проверь, выполняются ли заданные отношения и отвечает ли результат на вопрос. Такая проверка обнаруживает не только ошибку в вычислениях, но и неверно выбранный способ. Она также помогает заметить, если забыта единица измерения.
Сначала прочитай задачу целиком, не торопясь считать: отдельное предложение может описывать только часть ситуации. Затем назови данные, искомое и связи между величинами, например, что одно количество на несколько единиц больше другого. Это нужно потому, что числа сами по себе не подсказывают, какое действие выполнить. Связи объясняют, как данные относятся к вопросу.
Перед вычислениями полезно кратко записать условие или изобразить его схемой. Так легче увидеть, какие величины известны, какие сравниваются и что требуется найти; без записи важная связь может потеряться в длинном тексте. Схема особенно помогает, когда в задаче несколько частей или шагов. Для короткой и простой задачи достаточно мысленно выделить данные и вопрос.
План решения составляют, опираясь на вопрос и отношения между величинами. Спроси себя, какие данные нужны для ответа и можно ли получить их сразу; если нет, найди промежуточную величину. Например, стоимость нескольких одинаковых предметов можно узнать, сначала вычислив цену одного предмета. Такой порядок нужен, чтобы каждое действие подготавливало следующее, а не выполнялось наугад.
Когда план готов, выполняй действия по порядку или составляй уравнение, если неизвестную удобно обозначить буквой. Уравнение связывает неизвестное с данными условия, поэтому его решение помогает найти нужную величину. После вычислений запиши ответ словами и укажи наименование: например, «150 рублей», а не просто «150». Так понятно, что именно найдено и соответствует ли запись вопросу.
Наконец, проверь результат: подставь его в исходные отношения или мысленно восстанови ситуацию. Если после вычислений количество предметов стало меньше нуля, хотя речь шла о реальных предметах, нужно проверить рассуждение. Затем сопоставь результат с вопросом: найдено ли общее количество, нужная стоимость или другая требуемая величина. Проверка по смыслу и по условию помогает обнаружить ошибки, которые не видны при одном лишь повторном счёте.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Прочитать условие | Понять ситуацию целиком | Не упущена ли часть условия |
| Выделить данные и вопрос | Назвать известное и искомое | Понятно ли, что требуется найти |
| Построить модель | Сделать краткую запись, схему, выражение или уравнение | Показаны ли нужные связи |
| Составить план и выполнить решение | Выбрать порядок действий и вычислить | Обоснован ли каждый шаг |
| Проверить результат и записать ответ | Сопоставить результат с условием и ответить на вопрос | Подходит ли результат и указана ли величина |
Пользуйся таблицей как маршрутом: переходи к следующему этапу, когда понял, что нужно сделать на текущем. Если при проверке результат не подходит, вернись к модели или плану и найди место, где нарушилась связь с условием. Для простой задачи некоторые этапы можно выполнить мысленно, но вопрос и проверку пропускать не стоит.
В коробке было 18 карандашей. В неё положили ещё 7. Сколько карандашей стало в коробке? Искомое — общее число карандашей после изменения. Число увеличилось, потому что новые карандаши добавили к тем, что уже были.
Ответ: 25 карандашей. Здесь сложение выбрано не только из-за слов «положили ещё», но и потому, что нужно объединить прежнее и добавленное количество. Ответ прямо называет то, что спрашивали: сколько карандашей стало в коробке.
За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Сначала нужно найти величину, которой пока нет в условии, — стоимость одной тетради. После этого можно вычислить цену пяти тетрадей, поскольку все тетради одинаковые и цена каждой из них равна.
Ответ: 5 тетрадей стоят 150 рублей. Порядок действий важен: без цены одной тетради нельзя определить стоимость пяти. Проверка подтверждает, что результат соответствует ситуации и единице измерения.
В двух корзинах 54 яблока. В первой на 8 яблок больше, чем во второй. Сколько яблок в каждой корзине? Обозначим буквой x количество яблок во второй корзине. Тогда в первой корзине x + 8 яблок, а сумма этих количеств равна 54.
Ответ: в первой корзине 31 яблоко, во второй — 23 яблока. Уравнение связывает обе неизвестные величины с общим количеством из условия. Проверка подтверждает и разность, и сумму, поэтому оба значения подходят.
Начинать вычисления, не выяснив, что требуется найти, — значит рисковать решить не тот вопрос. Так бывает, когда ученик сразу замечает числа и подбирает действие, не дочитав задачу. До вычислений сформулируй вопрос своими словами и обозначь искомую величину. В конце сравни с ним ответ: если искали стоимость, одного числа предметов недостаточно.
Выбирать действие только по отдельному слову в условии ненадёжно: одинаковые слова могут встречаться в задачах с разными связями. Обычно так делают, потому что хочется быстро найти знакомый знак действия, не анализируя ситуацию. Проверь, что именно означают величины и как они связаны: объединяются ли количества, сравниваются ли они или речь идёт о равных частях. Если действие нельзя объяснить условием, план нужно пересмотреть.
Записывать выражение или уравнение без пояснения чисел и неизвестного опасно: можно не заметить, что модель описывает другую ситуацию. Эта ошибка возникает, когда запись делают автоматически, не связывая её с текстом. Подпиши или проговори, что означает каждая величина и почему в уравнении стоит именно такое отношение. Затем проверь, что модель включает все нужные данные и приводит к ответу на вопрос.
Если не проверить результат и не указать единицы измерения, даже верные вычисления могут дать неполный ответ. Это случается из-за спешки: кажется, что после последнего действия задача уже закончена. Подставь результат в условие, оцени его по смыслу и проверь, на какую величину он похож. Потом допиши единицу измерения или название предметов и убедись, что ответ сформулирован целиком.
Для решения задач нужны навыки арифметических действий, чтения выражений и понимания отношений между величинами. Составлять математическую модель помогают краткая запись, схемы и уравнения: они делают текстовую ситуацию наглядной. Эти способы используются не только в задачах из учебника, но и в повседневной жизни. Например, с их помощью можно сравнить цены, рассчитать нужное количество продуктов или разделить расходы.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Сначала выясни, что требуется найти, и установи, как величины связаны между собой. Если нужное количество складывается из частей, понадобится сложение; если известны сумма и число равных частей, можно делить. При нескольких шагах сначала находят величину, без которой нельзя ответить на вопрос.
Всегда ли нужно делать краткую запись или рисунок?
Нет, для простой задачи достаточно внимательно прочитать условие и выделить данные с вопросом. Краткая запись, схема или рисунок полезны, когда величин несколько или отношения между ними трудно удержать в уме. Выбирай то изображение, которое помогает увидеть связь данных.
Когда текстовую задачу удобнее решать уравнением?
Уравнение удобно, когда неизвестную величину можно обозначить буквой, а остальные величины выразить через неё. Особенно полезен этот способ, если в задаче связаны несколько неизвестных или требуется найти число по условию о сумме, разности, цене и количестве. После решения обязательно объясни, что означает найденное значение.
Как проверить, что ответ подходит к условию?
Подставь найденное значение в отношения из условия и проверь, выполняются ли они. Затем спроси себя, отвечает ли результат именно на поставленный вопрос и реалистичен ли он по смыслу. Например, число предметов не может быть отрицательным.
Нужно ли указывать единицы измерения в ответе?
Да, если в задаче речь идёт о величине с единицей измерения, укажи её в ответе: например, 25 рублей или 12 сантиметров. Это показывает, что найдено именно то, о чём спрашивали. Если искали количество предметов, назови сами предметы.
3.73. Решение задач
