"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Умножение величины на число помогает находить несколько одинаковых длин, масс, расстояний и других величин. Для вычисления умножают числовое значение, а единицу измерения сохраняют: например, 4 м · 3 = 12 м. Это правило работает и с дробными числами. Чтобы получить осмысленный ответ, нужно следить за единицами измерения и при необходимости пересчитывать числовое значение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько единиц измерения содержится в величине. Например, в записи 4 м числовое значение равно 4, а единица измерения — метр. Это разделение помогает понять, что именно мы вычисляем, и не потерять обозначение результата.
Умножение величины на число — действие, при котором её числовое значение умножают на это число, сохраняя единицу измерения. Если длина равна 4 м, то при увеличении её в 3 раза получим 12 м. Такое правило позволяет работать с величинами по знакомым правилам умножения чисел.
Произведение величины на число — величина, полученная умножением её числового значения на число; например, 3 · 2 м = 6 м. В результате указывают не только число, но и единицу измерения. Это нужно, чтобы ответ описывал именно длину, массу или другую величину, а не просто число.
Величину удобно записать как произведение её числового значения и единицы измерения: 4 м = 4 · м. Здесь 4 показывает, сколько метров взяли, а м сообщает, что именно измерено. Такая запись помогает увидеть, что при умножении на число изменяется количество единиц, но сами единицы остаются прежними. Поэтому запись 4 м · 3 можно понимать как 4 · м · 3.
При умножении величины на число перемножают числовые значения, а единицу измерения записывают один раз: 4 м · 3 = (4 · 3) м = 12 м. Так происходит потому, что множитель 3 показывает, сколько раз нужно взять исходную длину. Он не превращает метры в сантиметры или другую единицу. В результате получаем новую длину, выраженную в тех же метрах.
Если множитель натуральный, умножение можно представить как сложение одинаковых величин: 3 · 4 м = 4 м + 4 м + 4 м = 12 м. Три слагаемых здесь означают три одинаковые длины по 4 м. Умножение заменяет такое повторяющееся сложение более короткой записью. Этот смысл объясняет, почему числовое значение увеличивается в три раза, а единица измерения сохраняется.
Иногда результат удобно выразить в другой единице, но при переходе нужно пересчитать числовое значение. Например, 2 м · 3 = 6 м, а поскольку 1 м = 100 см, те же 6 м составляют 600 см. Нельзя оставить число 6 и просто заменить метры сантиметрами: 6 см — совсем другая длина. Сначала вычисляют результат в исходной единице, а затем при необходимости выполняют перевод.
Умножение величины на число согласуется со свойствами обычного умножения. Например, 2 · (3 м · 4) можно вычислить как (2 · 3) м · 4 или как 2 · (3 · 4) м: результат в обоих случаях равен 24 м. Это верно потому, что множители относятся к числовым значениям, а единица измерения остаётся общей. Свойства умножения помогают выбирать более удобный порядок вычислений, не меняя ответ.
В таблице собраны основные случаи и образцы вычислений. В каждом примере сначала умножается числовое значение, а затем к результату записывается прежняя единица измерения. Используй строку, которая соответствует виду множителя или вопросу о единицах.
| Случай | Как выполнять | Пример |
|---|---|---|
| Умножение на натуральное число | Умножить числовое значение на натуральный множитель и сохранить единицу. | 4 м · 3 = 12 м |
| Умножение на дробное число | Умножить числовое значение на дробь или десятичное число; единицу не менять. | 2,4 км · 1,5 = 3,6 км |
| Умножение числового значения | Вычислить произведение чисел, не включая единицу измерения в числовые вычисления. | 0,8 кг · 6 = (0,8 · 6) кг = 4,8 кг |
| Единица измерения результата | Оставить исходную единицу или пересчитать числовое значение при переводе в другую единицу. | 2 м · 3 = 6 м = 600 см |
Задача 1. Длина ленты равна 5 м. Найдите длину трёх таких лент. Нужно найти общую длину одинаковых лент, поэтому число 5 м берётся три раза. Удобнее заменить сложение умножением и сохранить единицу измерения.
Определяем величину одной ленты: это 5 м. Число одинаковых лент равно 3, поэтому составляем произведение 5 м · 3. Единицей результата будут метры.
Умножаем числовые значения: 5 · 3 = 15. Единицу измерения не меняем, значит, получаем 15 м. Проверка сложением даёт 5 м + 5 м + 5 м = 15 м.
Ответ: 15 м.
Задача 2. Масса одной упаковки составляет 0,8 кг. Какова масса 6 таких упаковок? Упаковки одинаковые, значит, искомая масса в шесть раз больше массы одной упаковки. Здесь нужно перемножить десятичное число и натуральное число, а результат выразить в килограммах.
Записываем произведение: 0,8 кг · 6. Оно соответствует шести одинаковым массам по 0,8 кг. Единицу измерения заранее менять не нужно.
Вычисляем числовое значение: 0,8 · 6 = 4,8. Приписываем исходную единицу и получаем 4,8 кг. Ответ разумен: шесть упаковок весят больше одной.
Ответ: 4,8 кг.
Задача 3. Велосипедист проезжает 2,4 км за один час. Какое расстояние он проедет за 1,5 часа при той же скорости? За каждый час он проезжает одинаковое расстояние, а время дано дробным числом. Поэтому умножаем расстояние за один час на число часов.
Составляем выражение: 2,4 км · 1,5. Оно показывает расстояние за 1,5 часа при неизменной скорости. Результат будет выражен в километрах.
Вычисляем числовое значение: 2,4 · 1,5 = 3,6. Следовательно, велосипедист проедет 3,6 км. Это больше, чем за один час, но меньше, чем за два часа, что соответствует условию.
Ответ: 3,6 км.
Первая ошибка — умножить числовое значение и забыть единицу измерения: вместо 12 м написать только 12. Такое случается, когда величину воспринимают как обычное число. Проверь, на какой вопрос отвечает результат: если нужна длина, в ответе должны быть метры, сантиметры или другая единица длины.
Вторая ошибка — изменить единицу без пересчёта числа, например решить, что 2 м · 3 = 6 см. Число 6 получено в метрах, потому что исходная величина дана в метрах. Если хочется записать сантиметры, сначала получаем 6 м, а затем переводим: 6 м = 600 см. Сверь ответ с соотношением единиц измерения.
Третья ошибка — при умножении на дробь умножать или делить саму единицу измерения. Множитель действует на числовое значение: например, 4 м · ½ = 2 м, а не 4 см или 2 см. Ошибка возникает, когда дробь воспринимают как указание сменить единицу. Для проверки отдели число от обозначения единицы и выполни вычисление только с числами.
Четвёртая ошибка — складывать величины с разными единицами без перевода, а затем умножать полученную сумму. Например, метры и сантиметры нельзя складывать как отдельные числовые значения, потому что единицы задают разные масштабы. Сначала вырази обе величины в одной единице, затем сложи и выполни умножение, если оно требуется. Проверка проста: перед сложением обозначения единиц у слагаемых должны совпадать.
Для этой темы нужно уметь умножать натуральные, дробные и десятичные числа, а также понимать, что означает единица измерения в записи величины. Смысл умножения натурального числа раскрывается через сложение одинаковых слагаемых, поэтому помогает проверить вычисление. При решении практических задач это действие применяют для стоимости нескольких одинаковых предметов, расстояния при постоянной скорости, общей массы и времени. Оно также встречается в задачах на масштаб, где размер увеличивают или уменьшают в заданное число раз.
Почему при умножении величины на число единица измерения не меняется?
Число показывает, во сколько раз увеличивается величина, а не меняет способ её измерения. Например, три длины по 4 м составляют 12 м, а не 12 см или 12 км.
Как умножить величину на десятичную дробь?
Умножь числовое значение величины на десятичную дробь и оставь ту же единицу измерения. Например, 0,8 кг · 1,5 = 1,2 кг.
Можно ли умножать величину на дробное число?
Да. Дробное число показывает, какую часть исходной величины или во сколько раз её нужно взять. Например, 4 м · ½ = 2 м.
Нужно ли переводить величины в одинаковые единицы перед умножением?
Перед умножением величину переводить в другую единицу не обязательно: можно умножить числовое значение и сохранить исходную единицу. Но если в задаче величины складывают или сравнивают, их обычно сначала выражают в одинаковых единицах.
Как проверить, что единица измерения в ответе записана правильно?
Проверь, в какой единице была задана исходная величина: при умножении на число она сохраняется. Затем соотнеси единицу с вопросом задачи: длину указывают, например, в метрах, массу — в килограммах.
Умножение величины на число
