"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Математическое выражение — это запись, которая показывает, какие действия нужно выполнить с числами или буквами. Оно помогает коротко и точно описывать вычисления. Чтобы найти значение выражения, важно соблюдать порядок действий: сначала выполнить действия в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Если в записи есть буква, вместо неё подставляют заданное число. Выражения можно сравнить, найдя их значения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическое выражение — запись из чисел, букв, знаков действий и скобок, по которой можно выполнять вычисления. Например, 7 + 3 · 2 — выражение. Такие записи нужны, чтобы коротко и точно показывать, какие действия связаны между собой.
Числовое выражение — выражение, составленное из чисел и знаков действий. Например, 24 : 6 + 5 — числовое выражение, и его значение можно найти, выполнив действия. Такие выражения позволяют записывать задачи на вычисление без длинного описания словами.
Буквенное выражение — выражение, в котором наряду с числами и знаками действий есть буквы. Например, 4 + b: значение этой записи зависит от того, какое число обозначает b. Буквенные выражения нужны, когда число пока неизвестно или может меняться.
Значение выражения — число, полученное после выполнения всех действий в выражении. Например, значение выражения 6 + 2 равно 8. Это результат вычислений, а не сама запись; чтобы узнать его, нужно правильно выполнить все действия.
Выражение описывает последовательность действий, поэтому по нему можно понять ход вычисления. Например, запись 18 : 3 + 4 показывает, что нужно разделить одно число на другое, а затем прибавить 4. Это короче словесного описания и помогает не перепутать сами действия. Знаки и скобки делают запись точной: у каждого действия есть своё место.
Порядок действий нужен, чтобы разные люди получили один и тот же результат, читая выражение одинаково. Сначала выполняют действия в скобках: они выделяют часть записи, которую нужно посчитать отдельно. Затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Если действия одного приоритета стоят рядом, их выполняют слева направо.
В буквенном выражении буква обозначает число, но само выражение может подходить для разных значений этой буквы. Например, если a равно 2, выражение a + 5 имеет одно значение, а если a равно 7 — другое. Поэтому нельзя узнать единственный результат, пока значение буквы не задано. Буквы помогают записывать правило сразу для нескольких возможных случаев.
Чтобы найти значение буквенного выражения, вместо буквы подставляют заданное число. Например, при a = 3 запись 2a + 1 превращается в 2 · 3 + 1. Знаки действий при этом сохраняют: иначе получится уже другое выражение. После подстановки перед нами числовая запись, и её вычисляют по общим правилам порядка действий.
Сравнивать выражения удобно через их значения, потому что именно значения являются числами. Сначала нужно вычислить каждое выражение, не пропуская скобки и не нарушая порядок действий. Затем сравнить результаты обычным способом: определить, какое число больше, или установить, что числа равны. Если в выражениях есть буквы, для сравнения сначала понадобятся заданные значения этих букв.
| Вид выражения | Из чего состоит | Что с ним делают | Пример |
|---|---|---|---|
| Числовое выражение | Из чисел и знаков действий | Вычисляют значение | 18 : 3 + 4 |
| Буквенное выражение | Из чисел, букв и знаков действий | Подставляют значения букв, затем вычисляют | 2a + 1 |
| Нахождение значения | Из выражения с заданными числами | Выполняют действия по порядку | 2 · 3 + 1 = 7 |
| Сравнение выражений | Из двух выражений | Находят значения и сравнивают их | 6 + 2 и 3 · 3: 8 < 9 |
Сначала определи, с каким видом записи работаешь: числовым или буквенным. Если есть буква, выясни её значение и подставь его, а затем вычисли результат. Чтобы сравнить выражения, найди значение каждого и сравни полученные числа.
Задача 1. Найди значение выражения 48 − 18 : 3.
В записи есть деление и вычитание, поэтому нельзя сразу считать слева направо. Деление выполняют раньше вычитания. Сначала найдём частное 18 и 3, а затем вычтем его из 48.
Ответ: 42.
Задача 2. Найди значение выражения 5 · (12 − 7) + 8.
Скобки показывают, какое действие нужно выполнить первым: сначала найдём разность 12 и 7. Затем умножим полученное число на 5, потому что умножение выполняется раньше сложения. Последним действием прибавим 8.
Ответ: 33.
Задача 3. Найди значение выражения 3a + 16 : 4 при a = 6.
Сначала заменим букву числом 6, не меняя знаки действий. Получится числовое выражение 3 · 6 + 16 : 4. В нём есть умножение, деление и сложение, поэтому сначала выполним умножение и деление, а затем сложим результаты.
Ответ: 22.
Если выполнять все действия строго слева направо, можно получить неверный результат: например, в 48 − 18 : 3 сначала делят, а не вычитают. Так ошибаются, когда читают запись как обычную цепочку слов. Проверь себя: отметь действия с разным приоритетом и сначала выполни умножение или деление.
Начинать вычисления не со скобок — значит не выполнить указание, которое они задают. Скобки выделяют действия, результат которых нужен для дальнейшего счёта; их легко пропустить, если торопиться. Перед вычислением найди все скобки и сначала посчитай выражение внутри них.
При подстановке числа иногда пропускают знак действия или случайно заменяют его другим. Это случается, когда переписывают выражение невнимательно, особенно если в нём несколько действий. Проверь себя, сравнив исходную запись с записью после подстановки: должны измениться только буквы, которым задали значения.
Нельзя считать буквенное выражение готовым числом, не зная значения буквы. Например, 3a может означать 6, если a = 2, или 15, если a = 5. Ошибка возникает, когда букву воспринимают как постоянное число; проверь, указано ли её значение, и только после подстановки вычисляй результат.
Для работы с выражениями нужно знать названия арифметических действий и уметь выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. Также пригодится умение соблюдать порядок действий и использовать скобки в числовых выражениях. Буквенные выражения станут основой для формул и уравнений: с их помощью записывают общие правила вычислений и зависимости между числами.
Чем выражение отличается от его значения?
Выражение — это запись чисел, букв и действий, например 8 + 3 · 2. Значение — результат вычислений по этой записи: для примера значение равно 14.
Почему в выражении не всегда выполняют действия слева направо?
У действий есть разный приоритет: умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Поэтому в выражении 8 + 3 · 2 сначала умножают 3 на 2, а потом прибавляют 8.
Что означает буква в буквенном выражении?
Буква обозначает число, которое может быть задано отдельно. Например, в выражении 4a буква a может означать разные числа.
Как найти значение буквенного выражения?
Нужно заменить букву заданным числом, сохранив все знаки и действия. Затем вычислить получившееся числовое выражение по правилам порядка действий.
Как понять, какое из двух выражений больше?
Найди значение каждого выражения, соблюдая порядок действий. Сравни полученные числа: больше то выражение, значение которого больше.
§ 1. Математические выражения.
