§ 1. Понятие десятичной дроби

Определения и обозначения

Десятичная дробь — дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Например, 7/10 и 23/100 — десятичные дроби. Знание этого определения помогает понять, какие обыкновенные дроби можно записать с помощью запятой.

Десятичная запись дроби — запись дроби со знаменателем, равным степени числа 10, с помощью запятой. Например, дробь 23/100 записывают как 0,23. Такая запись короче и удобнее, когда нужно сравнивать числа или выполнять вычисления.

Десятичные разряды — места цифр после запятой, каждое из которых обозначает определённую долю единицы. Первый разряд — десятые, второй — сотые, третий — тысячные. Разряды нужны, чтобы точно понимать, какую часть целого показывает каждая цифра.

В десятичной дроби цифры до запятой образуют целую часть, а цифры после неё — дробную часть. Например, в числе 4,035 целая часть равна 4, а дробная запись 035 показывает 35 тысячных. Запятая помогает сразу увидеть, где заканчиваются целые единицы и начинаются их части.

Как это устроено

Когда единицу делят на 10 равных частей, получают десятые: одна такая часть равна 1/10. Если каждую из десяти частей разделить ещё на 10, целое окажется разделено на 100 частей, то есть на сотые. При делении на 1000 получают тысячные. Поэтому названия долей и знаменатели связаны с тем, на сколько равных частей разделили единицу.

Количество знаков после запятой связано со знаменателем дроби. У знаменателя 10 один ноль, поэтому для десятых нужен один знак: 7/10 = 0,7. У знаменателя 100 два нуля, значит, записывают два знака: 23/100 = 0,23. Для знаменателя 1000 нужны три знака, так как он обозначает тысячные.

Чтобы перевести обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100 или 1000 в десятичную, поставь после запятой столько цифр, сколько нулей в знаменателе, и запиши числитель в этих разрядах. Например, 23/100 — это 0,23: две цифры занимают разряды десятых и сотых. Дробь 6/1000 записывается как 0,006; читают её «ноль целых шесть тысячных». Такое чтение подсказывает, какой знаменатель был у дроби.

В смешанном числе есть целая часть и дробная часть. Чтобы записать его десятичной дробью, целую часть ставят перед запятой, а дробную записывают после неё с нужным числом разрядов. Например, 4 35/1000 = 4,035: цифры 035 занимают разряды десятых, сотых и тысячных. Запятая отделяет целые единицы от дробных долей.

Ноль в начале дробной части может быть необходим, потому что он сохраняет место для отсутствующего разряда. В записи 0,006 ноль на месте десятых и ноль на месте сотых показывают, что цифра 6 обозначает тысячные, а не десятые. Нули в конце дробной части, наоборот, можно дописать или убрать: 0,6 = 0,60. Это не меняет значения, потому что число долей остаётся тем же.

Обыкновенная дробь и её десятичная запись

Сначала найди знаменатель, а затем определи название долей и число знаков после запятой. В таблице видно, что большему количеству нулей в знаменателе соответствует больше разрядов в десятичной записи. Сравнивая строки, можно проверить, не пропущен ли нужный ноль.

Разбор задач

Запишите дробь 7/10 десятичной дробью и прочитайте её.

1. Посмотри на знаменатель: 10 содержит один ноль.
2. Значит, после запятой нужен один знак. Числитель 7 ставим в разряд десятых, перед запятой записываем 0, потому что целых единиц нет.
3. Получаем 0,7. Цифра 7 стоит в разряде десятых, поэтому число читают «ноль целых семь десятых».

Ответ: 7/10 = 0,7; ноль целых семь десятых.

Запишите дроби 23/100 и 6/1000 десятичными дробями.

1. У знаменателя 100 два нуля, поэтому в записи дроби нужны два знака после запятой. Числитель 23 как раз состоит из двух цифр: получаем 0,23.
2. У знаменателя 1000 три нуля, значит, нужно заполнить три разряда после запятой. В числителе только цифра 6, поэтому перед ней ставим два нуля, чтобы она заняла разряд тысячных.
3. Записываем результат как 0,006. Проверяем: после запятой три цифры — ноль, ноль и шесть, значит, шесть стоит именно на третьем месте.

Ответ: 23/100 = 0,23; 6/1000 = 0,006.

Запишите число 4 35/1000 десятичной дробью и укажите целую часть, дробную часть и разряд цифры 5.

1. Выдели целую часть: это 4, она останется слева от запятой.
2. Знаменатель 1000 требует три знака после запятой. В числителе 35 две цифры, поэтому перед ними нужен ноль: дробная часть записывается как 035.
3. Соедини части запятой: 4 35/1000 = 4,035. После запятой цифры занимают разряды десятых, сотых и тысячных; цифра 5 стоит на третьем месте.

Ответ: 4,035; целая часть — 4, дробная часть — 035, цифра 5 обозначает тысячные.

Типичные ошибки

Иногда количество знаков после запятой выбирают по числителю, а не по знаменателю. Например, число цифр в числителе 6 не говорит, сколько знаков нужно в записи дроби 6/1000. Ошибка возникает, когда смотрят на числитель и забывают, что именно знаменатель задаёт название долей. Проверь себя: сосчитай нули в знаменателе и столько же разрядов оставь после запятой.

Дробь 6/100 могут ошибочно записать как 0,6. Но 0,6 — это шесть десятых, а не шесть сотых, потому что цифра 6 стоит на первом месте после запятой. Ноль нужен, чтобы сохранить место десятых и поставить 6 в разряд сотых: 6/100 = 0,06. Проверка простая: у знаменателя 100 два нуля, значит, после запятой должны быть два знака.

Нули в конце дробной части иногда считают обязательными цифрами, без которых число изменится. Из-за этого могут бояться записать 0,60 как 0,6, хотя обе записи обозначают шесть десятых. Ошибка появляется из-за смешения нулей в начале и в конце дробной части: первые могут задавать разряд цифры, а последние не меняют значение. Для проверки назови число словами: 0,60 и 0,6 — это шесть десятых.

Запятую могут принять за знак, который разделяет числитель и знаменатель обыкновенной дроби. На самом деле в десятичной записи она отделяет целую часть числа от дробной, а дробь 23/100 пишется без запятой как обыкновенная дробь. Путаница возникает, когда смешивают два разных способа записи. Проверь себя: в десятичном числе по обе стороны запятой стоят части одного числа, например 4,25.

Связь с другими темами

Для работы с десятичными дробями нужно знать, что такое обыкновенная дробь, числитель и знаменатель, а также уметь делить на 10, 100 и 1000. Эти знания помогают понять, откуда берутся десятые, сотые и тысячные и как перевести дробь в десятичную запись. Позже десятичные дроби пригодятся при сравнении и вычислениях с дробями. С их помощью удобно записывать и результаты измерений, например длину или массу.

Что запомнить

• Десятичная дробь имеет знаменатель 10, 100, 1000 и так далее.
• Знаменателю 10 соответствует один знак после запятой, 100 — два, 1000 — три.
• Запятая отделяет целую часть от дробной.
• Цифры после запятой обозначают десятые, сотые, тысячные и следующие доли.
• Нули в начале дробной части помогают сохранить нужное место цифры.
• Нули в конце дробной части можно убрать без изменения значения числа.