1. Новая запись чисел

Определения и обозначения

Цифра — знак, с помощью которого записывают числа. В десятичной системе есть десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Из них составляют записи любых натуральных чисел, поэтому цифры похожи на буквы, из которых составляют слова.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение. Например, в числе 472 цифра 4 стоит в разряде сотен, 7 — в разряде десятков, а 2 — в разряде единиц. Знание разрядов помогает правильно читать число и понимать значение каждой его цифры.

Разрядная единица — единица соответствующего разряда: единица, десяток, сотня, тысяча и далее. Её значения образуют ряд 1, 10, 100, 1000 и так далее, причём каждое следующее значение в десять раз больше предыдущего. Умножая цифру на разрядную единицу, получают её значение в числе.

Класс чисел — группа из трёх соседних разрядов, отсчитываемых справа налево. В первый класс входят единицы, десятки и сотни, во второй — тысячи, десятки тысяч и сотни тысяч. Классы нужны, чтобы удобно читать и записывать очень большие числа.

Как это устроено

Для записи любых натуральных чисел достаточно десяти цифр, потому что десятичная система строится на последовательном увеличении разрядов в десять раз. Когда цифр одного разряда не хватает, появляется следующий разряд, а прежние цифры можно использовать снова. Цифра — только знак, а число — количество или вся запись, составленная из знаков: например, 7 — цифра, а 472 — число.

Одна и та же цифра получает разное значение из-за своего положения. В числе 555 первая справа цифра означает 5 единиц, следующая — 5 десятков, а последняя — 5 сотен. Поэтому при чтении нужно смотреть не только на саму цифру, но и на разрядную единицу, с которой она связана.

Многозначное число можно разложить на сумму разрядных слагаемых. Для этого каждую цифру умножают на разрядную единицу, а полученные значения складывают: 3 482 = 3 000 + 400 + 80 + 2. Обратно, чтобы восстановить запись, определяют место каждого слагаемого и ставят в соответствующий разряд его цифру.

Группировка по три начинается справа, потому что именно так удобно выделять классы: единиц, тысяч, миллионов и далее. Внутри каждого класса читают трёхзначную группу, а затем добавляют название класса, кроме класса единиц. Если в группе есть пропущенные разряды, их места сохраняют нули, иначе цифры окажутся не на своих местах.

Разряды и классы десятичной записи числа

Первые три строки показывают отдельные разряды и их разрядные единицы. Последние строки показывают объединение трёх соседних разрядов в классы. Пользуясь таблицей, сначала найдите место цифры справа налево, а затем определите её значение.

Разбор задач

Задача 1. Запись числа по разрядам

Нужно записать число, состоящее из 7 десятков тысяч, 3 сотен, 5 единиц и 0 единиц остальных разрядов. Сначала определим, какие места занимают названные разрядные единицы. Затем поставим в каждое место нужную цифру, не забывая о нулях.

1. 7 десятков тысяч записываем в разряд десятков тысяч: 70 000.
2. В разряд сотен ставим 3, в разряд единиц — 5.
3. В разрядах сотен тысяч, тысяч и десятков единиц нет, поэтому ставим нули.
4. Получаем запись 70 305.

Ответ: 70 305. Ноль в разряде тысяч и ноль в разряде десятков нужны, чтобы 3 и 5 сохранили правильные места.

Задача 2. Разрядные слагаемые

Представим число 604 028 в виде суммы разрядных слагаемых и назовём значение цифры 4. Удобно читать число справа налево и подписать над цифрами их разряды. После этого нулевые разряды можно не включать в сумму.

1. 6 стоит в разряде сотен тысяч, поэтому даёт 600 000.
2. 0 в разряде десятков тысяч и 4 в разряде тысяч дают соответственно 0 и 4 000.
3. 0 в разряде сотен, 2 в разряде десятков и 8 в разряде единиц дают 0, 20 и 8.
4. Записываем сумму ненулевых слагаемых: 604 028 = 600 000 + 4 000 + 20 + 8.

Ответ: разложение имеет вид 600 000 + 4 000 + 20 + 8, а цифра 4 обозначает 4 000, то есть 4 единицы разряда тысяч. Проверка сложением возвращает исходное число.

Задача 3. Сравнение больших чисел

Сравним числа 3 090 000 и 3 009 000. В обоих числах одинаковое количество цифр и одинаковый первый класс миллионов, поэтому нужно искать первое различие дальше. Группировка по три сразу показывает, где находятся различающиеся цифры.

1. Запишем числа классами: 3 | 090 | 000 и 3 | 009 | 000.
2. Класс миллионов одинаков: в каждом числе 3 миллиона.
3. В классе тысяч сравниваем 090 и 009: в разряде десятков тысяч стоят 9 и 0.
4. Так как 9 больше 0, первое число больше второго.

Ответ: 3 090 000 > 3 009 000. Сравнивать остальные разряды уже не нужно, потому что первый различающийся разряд сразу определяет результат.

Типичные ошибки

Путают цифру и число, называя 7 числом в записи 472. Так происходит, когда внимание обращают на один знак, а не на всю запись. Проверьте себя: спросите, говорится об отдельном символе или о количестве, которое обозначают все цифры вместе.

Считают, что значение цифры не зависит от её положения. Ошибка появляется, если забыть про разрядную единицу: 6 может означать 6 единиц, 60 или 600. Для проверки назовите разряд цифры и умножьте её на соответствующую единицу.

Пропускают нули внутри многозначного числа и записывают 405 как 45. Ноль обозначает отсутствующие десятки, но сохраняет место сотен и единиц. Проверка простая: разложите запись на слагаемые и сравните получившееся число с условием.

Неправильно группируют цифры справа налево или читают классы без их названий. Из-за этого тысячи могут превратиться в единицы или потеряться при чтении. Поставьте разделители через три цифры, начиная справа, и называйте группы по порядку.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь считать натуральные числа, знать порядок единиц, десятков и сотен, читать и сравнивать небольшие числа. Эти навыки помогают определить место каждой цифры без заучивания всей записи. Если разряды пока путаются, начинайте с числа из трёх цифр.

Дальше разряды понадобятся при письменных вычислениях, сравнении и округлении натуральных чисел. Правильная запись помогает выровнять цифры по разрядам при сложении и вычитании. Она также нужна для чтения больших величин.

В других предметах разрядная запись встречается при чтении дат, расстояний, численности населения и других больших чисел. Например, в географии важно не перепутать тысячи и миллионы. В окружающем мире нули помогают точно записывать измерения и количество объектов.

Что запомнить

• Цифры — это знаки, а число — их определённая запись или значение.
• В десятичной системе используются десять цифр: от 0 до 9.
• Значение цифры определяется её разрядом.
• Каждый следующий разряд справа налево в десять раз больше предыдущего.
• Многозначное число равно сумме его разрядных слагаемых.
• Цифры числа удобно группировать справа налево по три.
• Ноль в записи обозначает отсутствие единиц соответствующего разряда.