2. Десятичные и обыкновенные дроби

Определения и обозначения

Обыкновенная дробь — запись вида 3/5, где одно число стоит над дробной чертой, а другое под ней. Она показывает часть целого, разделённого на равные доли: например, 3/5 означает три доли из пяти. Такая запись нужна, когда целое разделили на несколько одинаковых частей и хотят указать, сколько из них взяли.

Числитель — число над дробной чертой. Он показывает, сколько долей взяли; в дроби 3/5 числитель равен 3. По числителю можно понять, сколько частей целого описывает дробь, если размер каждой части уже известен.

Знаменатель — число под дробной чертой. Он показывает, на сколько равных долей разделили целое; в дроби 3/5 знаменатель равен 5. Знаменатель помогает узнать размер одной доли, поэтому его нельзя путать с количеством взятых частей.

Десятичная дробь — дробное число, записанное с помощью запятой, например 0,37. Цифры после запятой обозначают доли: первая — десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. Такая запись удобна, когда знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 или другому числу, которое получается умножением десяти на себя.

Как это устроено

Представь шоколадку, которую разделили на четыре одинаковые плитки. Если взять одну плитку, это одна из четырёх равных долей, то есть 1/4; если взять три, получится 3/4. Доли должны быть равными, иначе нельзя считать их одинаковыми частями целого. Поэтому знаменатель сообщает, как разделили предмет, а числитель — сколько таких частей взяли.

Знаменатели 10, 100 и 1000 связаны с разрядами десятичной записи. Если целое разделить на десять равных долей, каждая доля — одна десятая; сотая доля получается при делении на сто частей. Поэтому 37/100 читается как «тридцать семь сотых» и записывается 0,37: две цифры после запятой показывают, что речь идёт о сотых. По той же причине 6/10 = 0,6, а 8/1000 = 0,008.

Чтобы прочитать десятичную дробь, посмотри, сколько цифр стоит после запятой: их место задаёт название долей. Например, в числе 0,42 цифра 4 стоит в разряде десятых, а 2 — в разряде сотых; число читают «ноль целых сорок две сотых». В числе 0,305 после запятой три цифры, значит, дробная часть выражена в тысячных: это «ноль целых триста пять тысячных». Ноль тоже занимает разряд и помогает правильно прочитать число.

Конечную десятичную дробь можно записать обыкновенной дробью: цифры после запятой становятся числителем, а знаменатель выбирают по числу этих цифр. Одна цифра требует знаменателя 10, две — 100, три — 1000; например, 0,42 = 42/100, а 0,305 = 305/1000. Если в дробной части есть начальный ноль, его нельзя пропускать при выборе знаменателя: у 0,07 две цифры после запятой, поэтому 0,07 = 7/100. Получившуюся дробь иногда можно сократить, но для записи исходного значения это не обязательно.

Десятичная и обыкновенная записи могут обозначать одно и то же число, потому что обе показывают одну и ту же часть целого. Например, 0,37 и 37/100 — это тридцать семь сотых, только записанных по-разному. Проверить равенство можно, переведя одну запись в другую по разрядам: если дробь со знаменателем 100 превращается в число с двумя знаками после запятой, её значение сохраняется. Ещё одна проверка — представить обе записи одинаковыми долями: 0,5 = 5/10 = 50/100.

Обыкновенная и десятичная записи дробных чисел

Сначала найди, какая часть целого записана и сколько долей она обозначает. Затем посмотри, удобно ли перейти к другой форме: особенно просто это сделать, если знаменатель равен 10, 100 или 1000. Таблица помогает не перепутать расположение чисел и понять, что две разные записи могут обозначать одну величину.

Разбор задач

Задача 1. Запиши обыкновенную дробь 7/10 десятичной дробью и прочитай полученное число.

1. Знаменатель 10 показывает, что целое разделено на десять равных долей, то есть на десятые.
2. Числитель 7 говорит, что взяли семь таких долей. Для десятых в десятичной записи нужен один знак после запятой, поэтому 7/10 = 0,7.
3. Прочитай число по разряду: 0,7 — это ноль целых семь десятых.

Ответ: 7/10 = 0,7; ноль целых семь десятых.

Задача 2. Запиши десятичную дробь 0,42 в виде обыкновенной дроби и объясни, что обозначают числитель и знаменатель.

1. После запятой стоят две цифры, значит, дробная часть выражена в сотых. Поэтому в знаменателе будет 100.
2. Убери запятую и запиши оставшееся число в числитель: 0,42 = 42/100. Не забудь, что 42 — это число сотых долей, а не десятых.
3. В дроби 42/100 знаменатель 100 показывает, что целое разделили на сто равных долей, а числитель 42 — что взяли сорок две такие доли.

Ответ: 0,42 = 42/100; 42 — числитель, 100 — знаменатель.

Задача 3. Для каждой пары запиши числа в одинаковой форме и сравни: 3/10 и 0,28; 5/100 и 0,5.

1. В первой паре переведи дробь в десятичную запись: 3/10 = 0,3. Чтобы сравнить 0,3 и 0,28, можно представить 0,3 как 0,30: три десятых больше двадцати восьми сотых, значит, 0,3 > 0,28.
2. Во второй паре запиши обе дроби в сотых: 5/100 — это пять сотых, то есть 0,05, а 0,5 = 0,50. Сравни разряды: ноль десятых меньше пяти десятых, поэтому 0,05 < 0,50.
3. Проверь, что сравниваешь одинаковые разряды. В первой паре 0,3 — не три сотых, а три десятых; во второй 0,5 — не пять сотых, а пять десятых.

Ответ: 3/10 > 0,28; 5/100 < 0,5.

Типичные ошибки

Иногда знаменатель принимают за количество взятых долей. Например, в 3/5 число 5 ошибочно считают числом взятых частей, хотя оно показывает, на сколько равных частей разделили целое. Так путают названия чисел рядом с дробной чертой. Проверь себя: числитель находится сверху и отвечает на вопрос «сколько взяли?», а знаменатель — снизу и отвечает на вопрос «на сколько разделили?».

Запись 0,07 иногда ошибочно превращают в 7/10, потому что видят цифру 7 и не замечают ноль. Но ноль стоит в разряде десятых, а 7 — в разряде сотых, поэтому 0,07 = 7/100. Чтобы не ошибиться, назови дробь: это семь сотых, а не семь десятых. Затем проверь, что знаменатель соответствует двум цифрам после запятой.

При переводе десятичной дроби в обыкновенную можно потерять ноль в дробной части и выбрать неверный знаменатель. Например, у 0,05 две цифры после запятой, значит, сначала получаем 5/100, а не 5/10. Ошибка возникает, если считать только ненулевые цифры, а не все знаки после запятой. Пересчитай знаки и поставь в знаменатель 10, 100 или 1000 соответственно.

Число с большим количеством цифр после запятой не обязательно больше числа с короткой записью. Например, 0,5 и 0,42 имеют разное количество знаков, но 0,5 = 0,50, а пять десятых больше сорока двух сотых. Ошибку допускают, когда сравнивают длину записи вместо величины разрядов. Добавь справа нули, если это помогает, и сравни числа от десятых к сотым и дальше.

Связь с другими темами

Для работы с дробями нужно уметь делить целое на равные части: без равных долей запись вроде 2/3 не описывает части одного целого. Также пригодятся знания о разрядах натуральных чисел и умение читать числа, потому что порядок цифр после запятой задаёт их значение. Дроби встречаются при измерениях, например при записи частей метра или килограмма, и помогают выполнять вычисления с величинами. Позже умение переводить и сравнивать дробные записи понадобится при изучении действий с дробными числами.

Что запомнить

• Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое.
• Числитель показывает, сколько таких долей взято.
• Десятичная дробь записывается с запятой.
• Одна цифра после запятой обозначает десятые, две — сотые, три — тысячные.
• Знаменателям 10, 100 и 1000 соответствуют десятые, сотые и тысячные.
• Конечную десятичную дробь можно записать обыкновенной дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее.