"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Приближённое равенство показывает, что одно число заменили близким, но не обязательно равным ему точно: для этого используют знак ≈. Округление помогает упростить запись числа и быстрее оценить результат вычислений. Чтобы округлить правильно, сначала выбирают разряд, до которого сохраняют цифры, а затем смотрят на цифру сразу справа от него. По ней решают, оставить последнюю сохраняемую цифру или увеличить её на единицу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приближённое равенство — равенство, в котором точное значение заменяют близким к нему значением; его записывают со знаком ≈. Например, 7,243 ≈ 7,2: числа близки, но не равны. Такой знак нужен, чтобы не принять результат округления за точное значение.
Округление числа — замена числа другим, близким к нему и более удобным для записи или вычислений. Например, вместо 397 можно взять 400, если нужна быстрая оценка. Округление упрощает вычисления, но результат при этом становится приближённым.
Разряд округления — разряд, до которого сохраняют цифры числа. Если округляют до десятков, последней сохраняемой цифрой будет цифра десятков; если до десятых — цифра десятых. Указание разряда помогает понять, какие цифры оставить, а какие изменить или отбросить.
Округление с недостатком и с избытком — получение приближённого значения, которое соответственно меньше или больше исходного числа. Например, 7,243 округляется до десятых с недостатком: 7,2 меньше исходного числа. Сравнение показывает, в какую сторону изменилось значение.
Точное равенство сообщает, что два значения совпадают, например 3 + 2 = 5. После округления вместо исходного числа берут лишь близкое значение, поэтому обычно точного совпадения нет: 14,7 ≈ 15. Знак ≈ предупреждает читателя, что справа записан результат приближения, а не точное значение выражения. Если поставить знак =, запись будет утверждать, что значения равны без остатка, и окажется неверной.
При измерениях точное значение часто нельзя узнать: например, длина предмета может быть известна только с точностью до сантиметра. В таком случае разумно записать результат измерения приближённо, не создавая впечатления лишней точности. Большие числа тоже удобнее округлять: проще сравнить примерно 400 тетрадей и 200, чем выполнять прикидку с числами 397 и 204. Округление помогает оценить ответ, но для точного ответа в задаче нужно использовать исходные числа.
Чтобы выбрать нужные цифры, сначала находят названный разряд округления: единицы, десятки, сотни, десятые или другой. Его цифру сохраняют, а затем смотрят на цифру непосредственно справа — это следующий разряд. Цифры левее разряда округления остаются на своих местах, потому что они обозначают более крупные части числа. Остальные цифры не сохраняют: в десятичной дроби их отбрасывают, а в целой части заменяют нулями.
Цифры 0, 1, 2, 3 и 4 означают, что отброшенная часть меньше половины следующего разряда, поэтому последнюю сохраняемую цифру не меняют. Если следующая цифра равна 5 или больше, отброшенная часть составляет не меньше половины, и по правилу округления сохраняемую цифру увеличивают на единицу. Например, при округлении до десятых числа 7,243 цифра сотых равна 4, поэтому остаётся 7,2. В числе 7,268 цифра сотых равна 6, поэтому результат — 7,3.
После округления с недостатком результат меньше исходного, а после округления с избытком — больше. Это можно проверить сравнением чисел: 7,2 < 7,243, а 7,3 > 7,268. Цифры после разряда округления убирают, потому что они больше не нужны для выбранной точности. В целых числах вместо отброшенных разрядов записывают нули, чтобы сохранить значение оставшихся разрядов: например, десятки в числе 390 нельзя записать как 39.
| Цифра следующего разряда | Действие с последней сохраняемой цифрой | Пример округления до указанного разряда |
|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 или 4 | Последнюю сохраняемую цифру не изменяют | 7,243 ≈ 7,2 |
| 5, 6, 7, 8 или 9 | Последнюю сохраняемую цифру увеличивают на 1 | 7,268 ≈ 7,3 |
| Округление до единиц | Цифру десятых проверяют, последующие цифры убирают | 14,7 ≈ 15 |
| Округление до десятков | Цифру единиц проверяют, единицы заменяют нулём | 386 ≈ 390 |
| Округление до сотен | Цифру десятков проверяют, десятки и единицы заменяют нулями | 1248 ≈ 1200 |
Сначала найдите в задании разряд, до которого нужно округлить число, и определите цифру справа от него. По таблице решите, оставить последнюю сохраняемую цифру или увеличить её. Затем отбросьте следующие цифры, а в целой части поставьте на их месте нули.
Нужно оставить одну цифру после запятой, потому что десятые — первый разряд справа от запятой. Для решения достаточно посмотреть на следующую цифру, то есть на цифру сотых. После округления все цифры правее десятых исчезнут.
Ответ: 6,374 ≈ 6,4. Результат больше исходного числа, значит, округление выполнено с избытком. Проверка помогает заметить направление изменения, но не заменяет правило выбора цифры.
В одном и том же числе результат зависит от выбранного разряда, поэтому каждое округление выполняем отдельно. До десятков сохраняем цифру десятков и проверяем единицы. До тысяч сохраняем цифру тысяч и проверяем сотни.
Ответ: до десятков — 58 650; до тысяч — 59 000. В обоих случаях результат больше исходного числа, поскольку цифра следующего разряда была не меньше 5. Нули нужны, чтобы показать положение сохранённых цифр.
В магазине было 397 тетрадей, затем привезли ещё 204. Нужно оценить общее количество, округлив оба числа до сотен. Для оценки сначала заменяем каждое число близкой сотней, а затем складываем округлённые значения. Точный ответ можно найти отдельно и сравнить с оценкой.
Ответ: примерно 600 тетрадей; точное количество — 601. Оценка удобна для быстрой прикидки, а знак ≈ показывает, что 600 — приближённое значение. Полученная оценка на одну тетрадь меньше точного результата.
Знак = вместо ≈ делает запись похожей на точное равенство: например, 7,243 = 7,2 неверно. Так ошибаются, потому что воспринимают округлённое число как ответ без изменения значения. Проверьте себя: сравните числа; если они отличаются, используйте знак ≈.
Если смотреть не на цифру сразу после разряда округления, а на более дальнюю, можно выбрать неверное действие. Например, при округлении до десятых решения не определяет цифра тысячных, если цифра сотых уже известна. Найдите разряд округления и проверьте именно соседнюю справа цифру.
Иногда последнюю сохраняемую цифру ошибочно заменяют нулём. Нули ставят только вместо отброшенных разрядов целой части, а сохраняемую цифру меняют лишь тогда, когда следующая цифра не меньше 5. Для проверки подпишите разряды и отделите последнюю сохраняемую цифру от тех, что будут заменены.
При округлении 3,99 до десятых нельзя записывать 3,10: это означало бы число 3,1, которое меньше исходного. Ошибка появляется, если увеличить 9, но забыть перенести единицу в следующий разряд. Увеличиваем цифру десятых, получаем перенос через 9 и записываем 4,0; проверка сравнением подтверждает, что 4,0 больше 3,99.
Для округления нужно уметь читать многозначные числа и десятичные дроби, понимать значение цифр по разрядам и сравнивать числа. Эти знания помогают найти нужную цифру и проверить полученный результат. В дальнейшем округление пригодится для устных вычислений, оценки ответа и работы с результатами измерений, которые обычно известны не абсолютно точно. Оно также подготавливает к изучению погрешности измерений и записи чисел с заданной точностью.
Почему при округлении используют знак ≈, а не знак =?
После округления исходное число обычно заменяют близким, но не равным ему числом. Поэтому пишут знак ≈, который читают «приблизительно равно». Знак = используют, когда значения точно совпадают.
Как понять, до какого разряда нужно округлить число?
Разряд указывают в задании: например, «до десятков» или «до сотых». Сохраняют цифры до этого разряда включительно, а для выбора действия смотрят на следующую цифру справа.
Почему при цифре 5 последнюю сохраняемую цифру увеличивают?
Цифра 5 означает, что отброшенная часть начинается как минимум с половины следующего разряда. По принятому правилу в таком случае округляют вверх: увеличивают последнюю сохраняемую цифру на единицу.
Нужно ли сохранять нули после округления целого числа?
В целой части цифры отброшенных разрядов заменяют нулями, чтобы показать разряд числа. Например, при округлении 386 до десятков получается 390, а не 39.
Как определить, получилось округление с недостатком или с избытком?
Сравните округлённое число с исходным. Если оно меньше исходного, округление выполнено с недостатком; если больше — с избытком. Например, 7,243 ≈ 7,2 — с недостатком, а 7,268 ≈ 7,3 — с избытком.
3. Приближенные равенства. Округление чисел
