4. Сравнение десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это число, в записи которого целая и дробная части разделены запятой, например 7,35. Слева от запятой записана целая часть, справа — дробная. Такая запись помогает удобно показывать число, в котором есть целые единицы и их части.

Разряды десятичной дроби — места цифр после запятой, обозначающие доли единицы: десятые, сотые, тысячные и другие. Первая цифра после запятой показывает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. Знание разрядов нужно, чтобы сравнивать цифры, занимающие одинаковые места.

Равные десятичные дроби — дроби с одинаковым значением, даже если их записи выглядят по-разному. Если справа к дробной части приписать ноль, значение не изменится: 4,6 = 4,60. Это свойство удобно, когда нужно сделать записи одинаковой длины и сравнивать их по разрядам.

Сравнение десятичных дробей — установление отношений «больше», «меньше» или «равно» между числами. Для записи результата используют знаки >, < и =. Сравнение помогает упорядочивать числа и выбирать большее или меньшее значение в задаче.

Как это устроено

Сравнение начинают с целых частей, потому что каждая целая единица больше любой части единицы. Например, число с тремя целыми больше числа с двумя целыми, сколько бы знаков ни было после запятой. Поэтому, если целые части различаются, дальнейшее сравнение дробных частей не требуется. Это сразу даёт верный результат и избавляет от лишних действий.

Если целые части одинаковы, сравнивают цифры после запятой по очереди слева направо. Сначала проверяют десятые, потому что это первый разряд дробной части, затем сотые и так далее. Пока цифры совпадают, числа не различаются по уже проверенным разрядам. Сравнение продолжают, пока не найдётся разряд с разными цифрами.

Первая различающаяся цифра определяет результат, потому что она стоит в самом крупном из разрядов, где записи уже отличаются. Например, десятая доля больше сотой, поэтому различие в десятых важнее любых последующих цифр. Если в этом разряде у одной дроби стоит большая цифра, то больше и вся дробь. До следующих разрядов в таком случае доходить не нужно.

Когда после запятой записано разное число цифр, короткую запись можно дополнить нулями справа. Например, 5,31 можно представить как 5,310, чтобы сравнить с 5,306 по одинаковому количеству разрядов. Теперь видно, что целые части и десятые равны, а в сотых 0 меньше 1. Значит, 5,306 меньше 5,310, то есть 5,306 < 5,31.

Ноль в конце дробной части не добавляет новых долей к числу. Запись 2,4 означает две целых и четыре десятых, а 2,40 — две целых, сорок сотых; эти количества равны. Поэтому ноль справа можно приписать для удобства сравнения или убрать, если он уже стоит в конце. Ноль между другими цифрами, например в 2,04, убирать нельзя: он занимает разряд сотых и меняет запись числа.

Как сравнивать десятичные дроби

Пользуйся таблицей как последовательностью проверок: сначала найди целые части, затем переходи к цифрам после запятой. Если записи имеют разную длину, допиши справа нули до одинакового числа знаков. Помни, что нули в конце дробной части не меняют значение числа.

Разбор задач

В каждой задаче будем двигаться от более крупных разрядов к более мелким. Сначала проверим целые части, а затем, если нужно, дробные. Такой порядок помогает не перепутать значение цифр и не сравнивать записи как обычные целые числа.

Сравните 4,7 и 6,2

1. Сравним целые части: 4 и 6. Целая часть 4 меньше целой части 6.
2. Целые части уже различаются, поэтому цифры после запятой сравнивать не нужно. Число с четырьмя целыми меньше числа с шестью целыми.
3. Поставим знак «меньше» между числами: 4,7 < 6,2.

Ответ: 4,7 < 6,2. Здесь достаточно было сравнить целые части, потому что они сразу показали порядок чисел.

Сравните 3,48 и 3,52

1. Сравним целые части: в обоих числах это 3, значит, на этом шаге выбрать большее число нельзя.
2. Перейдём к десятым: в числе 3,48 стоит цифра 4, а в числе 3,52 — цифра 5. Это первый разряд, в котором записи различаются.
3. Поскольку 4 меньше 5, число 3,48 меньше числа 3,52. Цифры сотых проверять уже не требуется.

Ответ: 3,48 < 3,52. Решение определяется разрядом десятых: именно в нём числа впервые отличаются.

Сравните 5,306 и 5,31

1. Целые части равны и составляют 5. Чтобы удобнее сравнить дробные части, допишем справа к записи 5,31 ноль: 5,31 = 5,310.
2. Сравним десятые: в обеих дробях стоит 3. Затем сравним сотые: у 5,306 стоит 0, а у 5,310 — 1.
3. В сотых первая дробь имеет меньшую цифру. Значит, 5,306 меньше 5,310, а поскольку 5,31 и 5,310 равны, меньше и 5,31.

Ответ: 5,306 < 5,31. Ноль справа позволил увидеть одинаковые разряды и не изменил значение второй дроби.

Типичные ошибки

Ошибка: сравнивать дробные части как целые числа. Так можно решить, что 2,8 меньше 2,75, потому что 8 меньше 75. Ошибка возникает, если забыть, что 8 здесь означает восемь десятых, а 75 — семьдесят пять сотых. Проверь себя: запиши 2,8 как 2,80, тогда сразу видно, что 2,80 > 2,75.

Ошибка: считать, что больше знаков после запятой — значит больше число. Запись может быть длиннее лишь потому, что в ней указаны более мелкие разряды. Например, 2,8 больше 2,75, хотя у первого числа знаков после запятой меньше. Проверь себя сравнением разрядов или допиши нули справа к короткой записи.

Ошибка: сравнивать цифры не в одинаковых разрядах. Можно, например, сопоставить десятые одной дроби с сотыми другой и получить неверный вывод. Обычно так происходит, если читать все цифры после запятой как единое целое число. Проверяй сначала десятые у обоих чисел, затем сотые и только потом следующие разряды.

Ошибка: думать, что ноль справа увеличивает дробь. Он не добавляет новых долей, поэтому 3,4 и 3,40 — одно и то же число. Такое заблуждение появляется из-за того, что запись становится длиннее. Проверь себя: прочитай обе дроби по разрядам — четыре десятых равны сорока сотым.

Связь с другими темами

Для сравнения десятичных дробей пригодится умение сравнивать натуральные числа и знание их разрядов: сначала работают именно целые части. Нужно также понимать, что десятичная дробь обозначает число, а цифры после запятой показывают доли единицы. Эти знания помогают не путать десятые, сотые и другие разряды. Сравнение используют, чтобы упорядочивать числа и решать задачи с величинами, записанными десятичными дробями.

Что запомнить

• Сначала сравнивают целые части.
• Если целые части равны, сравнивают цифры после запятой по порядку.
• Первая различающаяся цифра определяет, какая дробь больше.
• Нули справа в дробной части можно приписывать или отбрасывать.
• Количество знаков после запятой само по себе не показывает, какая дробь больше.
• Знак сравнения ставят между числами: <, > или =.