"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Десятичные дроби помогают записывать части единицы так же удобно, как целые числа: запятая показывает, где заканчивается целая часть и начинаются доли. С их помощью считают длину, массу, стоимость и другие величины. Главное — следить за разрядами: выравнивать запятые при сложении и вычитании, учитывать знаки после запятой при умножении и одинаково переносить запятую в делимом и делителе при делении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь — дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и так далее, записанная с помощью запятой. Например, 3/10 записывают как 0,3, а 27/100 — как 0,27. Такая запись позволяет видеть, сколько в числе целых единиц, десятых и сотых долей. Она удобна для вычислений и для записи величин, например 1,5 м.
Десятичная запись — представление числа, в котором целая и дробная части разделены запятой. Слева от запятой записывают целые единицы, а справа — доли единицы; в числе 4,26 это 4 целых и 26 сотых. Если целой части нет, перед запятой ставят ноль: 0,8. Такая запись помогает сразу определить, к каким разрядам относятся цифры.
Разряды десятичной дроби — позиции цифр после запятой: десятые, сотые, тысячные и последующие. Первая цифра справа от запятой показывает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. Например, в числе 5,348 цифра 3 означает три десятых, 4 — четыре сотых, а 8 — восемь тысячных. Разряды нужны, чтобы правильно сравнивать числа и выполнять действия.
Округление десятичной дроби — замена числа приближённым значением с сохранением заданного количества знаков после запятой. Например, округлить 2,746 до сотых — значит оставить две цифры после запятой. Для этого смотрят на следующую цифру и по ней решают, оставить последнюю цифру без изменения или увеличить её на единицу. Округление используют, когда точное значение не требуется.
Знаменатели 10, 100 и 1000 показывают, на сколько равных частей разделили единицу. Поэтому дроби с такими знаменателями удобно записывать цифрами после запятой: 7/10 = 0,7, 7/100 = 0,07, 7/1000 = 0,007. Каждое следующее место справа означает долю в десять раз меньшую: десятые, затем сотые, затем тысячные. Именно поэтому положение цифры важно не меньше, чем сама цифра.
Чтобы сравнить десятичные дроби, сначала сравнивают целые части: число с большей целой частью больше. Если целые части равны, сравнивают цифры десятых, затем сотых, тысячных и далее, двигаясь слева направо. Например, 2,47 < 2,5, потому что 2,5 можно записать как 2,50, а 47 сотых меньше 50 сотых. Нули в конце помогают сравнивать записи одинаковой длины, но не меняют значения числа.
При сложении и вычитании запятые ставят одну под другой, потому что вычислять можно только одинаковые разряды вместе. Тогда десятые окажутся под десятыми, сотые — под сотыми, а целые единицы — под целыми. Если дробные части разной длины, справа можно дописать нули: например, 1,2 записать как 1,20. После выравнивания считают как с натуральными числами, а в ответе запятую сохраняют под запятыми исходных чисел.
Умножение десятичных дробей удобно выполнять в два этапа. Сначала множители умножают как натуральные числа, временно не учитывая запятые; это даёт верные цифры произведения, но пока не его разряд. Затем в результате отделяют справа столько цифр, сколько знаков после запятой было в обоих множителях вместе. Например, у 1,2 два знака? Нет: один, а у 0,34 — два, поэтому произведение должно иметь три знака после запятой. Правило работает, потому что каждый множитель записан в десять или сто раз меньше соответствующего целого числа.
При делении на десятичную дробь сначала превращают делитель в натуральное число: для этого переносят его запятую вправо до конца. Запятую в делимом переносят вправо на столько же разрядов, чтобы сохранить частное. Причина в том, что делимое и делитель умножаются на одно и то же число, а если оба числа разделить или умножить на одинаковое число, отношение между ними не меняется. Например, 6,048 : 0,24 превращается в 604,8 : 24.
| Действие | Подготовка записи | Основной алгоритм | Что учесть при записи результата |
|---|---|---|---|
| Сложение | Выровнять запятые и при необходимости дописать нули | Сложить числа как натуральные, начиная с младшего разряда | Запятую поставить под запятыми слагаемых |
| Вычитание | Выровнять запятые и при необходимости дописать нули | Вычесть числа как натуральные, начиная с младшего разряда | Запятую поставить под запятыми уменьшаемого и вычитаемого |
| Умножение | Умножить числа без запятых | Выполнить обычное умножение и отсчитать справа общее число знаков после запятой в множителях | При необходимости дописать нули перед первой значащей цифрой дробной части |
| Деление | Сделать делитель натуральным, перенести запятую в делимом на столько же разрядов | Разделить получившиеся числа уголком или устно | Запятую в частном поставить после окончания деления целой части |
Перед вычислением найди в таблице нужное действие и выполни подготовку записи: именно на этом этапе чаще всего предотвращают ошибки с разрядами. После вычисления проверь, что запятая в ответе стоит по правилу. Если ответ кажется неожиданным по величине, оцени результат прикидкой.
Сложение и вычитание выполняются по порядку слева направо, поэтому сначала найдём сумму первых двух чисел. Запишем все числа с одинаковым количеством цифр после запятой: 3,70 и 4,80. Нули дополняют запись, но не меняют значения чисел. После сложения из результата вычтем 4,80.
В каждом столбике складывались или вычитались одинаковые разряды, а запятая осталась на своём месте. Ответ: 11,46.
Сначала определим, сколько знаков после запятой будет в произведении. В первом множителе их два, во втором — один, всего три. Теперь можно умножить цифры, будто запятых нет: 235 · 14. В конце отделим справа три цифры, чтобы восстановить разрядность ответа.
Проверим прикидкой: 2,35 немного больше 2, а 1,4 немного больше 1, поэтому произведение должно быть немного больше 2, но меньше 4. Полученный ответ подходит. Ответ: 3,29.
Делитель 0,24 содержит две цифры после запятой. Перенесём его запятую на два разряда вправо, чтобы получить натуральное число 24, и на столько же разрядов перенесём запятую в делимом. Получится 604,8 : 24; частное останется прежним, поскольку оба числа увеличили в сто раз. Теперь выполняем деление.
В результате получаем 25,2. Проверка обратным действием: 25,2 · 0,24 = 6,048. Ответ: 25,2.
При сложении или вычитании иногда складывают цифры, которые стоят в одинаковых местах записи, не выровняв запятые. Так десятые могут попасть в один столбик с сотыми: ошибка возникает, если ориентироваться на длину числа, а не на разряд. Перед вычислением поставь запятые друг под другом и при необходимости допиши нули. Проверка: в одном столбике должны стоять только единицы одного разряда.
При умножении можно отделить в ответе столько знаков после запятой, сколько было только в одном множителе. Это происходит, если забыть учесть разряды второго множителя. Сложи количество знаков после запятой в обоих числах и именно столько цифр отсчитай справа в произведении. Затем оцени ответ: например, произведение двух чисел, меньших единицы, не должно оказаться большим каждого из множителей.
При делении иногда переносят запятую только в делимом или только в делителе. Тогда изменяется отношение чисел, поэтому получается другое частное. Перед делением проверь, что запятая в обоих числах передвинута на одинаковое число разрядов; если делителю не хватает цифр, его можно записать с нулями. Проверить полученное частное можно умножением его на исходный делитель.
Длину дробной части порой принимают за меру величины числа: думают, что 0,125 больше 0,8, потому что цифр после запятой у него больше. Но сравнивать нужно сами разряды, начиная с десятых, а не число цифр в записи. Допиши к короткой дроби нули: 0,8 = 0,800, поэтому 0,800 > 0,125. Нули в конце не меняют значения дроби, а лишь помогают сравнить записи.
Для работы с десятичными дробями нужны навыки действий с натуральными числами, понимание обыкновенных дробей и знание разрядов. Эти знания помогают увидеть, что запись после запятой обозначает доли единицы, а вычисления подчиняются знакомым правилам. Десятичные дроби часто встречаются в задачах на длину, массу, стоимость, время и скорость. Позже они пригодятся при изучении процентов, приближённых вычислений, координат и алгебраических выражений.
Почему к десятичной дроби можно дописать ноль в конце?
Ноль в конце дробной части не меняет число: например, 2,5 и 2,50 обозначают пять десятых и пятьдесят сотых — это одинаковая величина. Такой ноль удобно дописывать, чтобы выровнять числа перед сложением или сравнением.
Как сравнить дроби, если у них разное количество цифр после запятой?
Сначала сравни целые части. Если они равны, допиши нули в конце дробной части так, чтобы знаков после запятой стало поровну, и сравни цифры слева направо. Например, 0,7 = 0,70, поэтому 0,70 > 0,68.
Почему при сложении запятые должны находиться одна под другой?
Так друг под другом оказываются одинаковые разряды: единицы под единицами, десятые под десятыми, сотые под сотыми. Если записать числа по длине, можно сложить, например, десятые с сотыми и получить неверный ответ.
Как определить, где поставить запятую в результате умножения?
Сначала умножь числа, временно не обращая внимания на запятые. Затем отсчитай справа столько знаков, сколько всего было после запятой в обоих множителях. Если цифр не хватает, допиши нули слева.
Зачем при делении на десятичную дробь переносят запятую в обоих числах?
Так делитель превращается в натуральное число, а делить на него удобнее. Запятую в делимом переносят на столько же разрядов: оба числа умножаются на одно и то же число, поэтому частное не меняется.
§ 2. Арифметика десятичных дробей
