"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Народные промыслы — это традиционные способы создавать и украшать вещи: посуду, игрушки, ткани и деревянные изделия. В орнаментах можно увидеть точки, линии, окружности и многоугольники, соединённые в повторяющиеся узоры. Геометрия помогает понять, как устроен такой узор: найти его раппорт, заметить симметрию и вычислить размеры украшенной части изделия. Эти знания пригодятся не только для решения задач, но и для самостоятельного построения орнаментов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Народный промысел — традиционное изготовление и художественное оформление изделий, в которых можно обнаружить геометрические формы и закономерности. Например, на посуде или игрушке могут повторяться линии, круги и многоугольники. Это понятие помогает увидеть в красивой вещи не только украшение, но и математическое устройство узора.
Орнамент — повторяющийся узор, составленный из отдельных элементов. Элементами могут быть точки, линии или фигуры, соединённые в общий мотив. Понятие орнамента нужно, чтобы описывать порядок, в котором детали расположены на изделии.
Раппорт орнамента — наименьшая часть узора, повторением которой строится весь орнамент. Если выделить её и несколько раз поставить рядом, получится исходная полоса рисунка. Раппорт нужен для подсчёта повторений и размеров украшенного участка.
Осевая симметрия — соответствие частей фигуры относительно прямой, называемой осью симметрии. При отражении относительно этой прямой одна часть переходит в другую, словно в зеркале. Это понятие помогает определить, какие элементы узора расположены симметрично.
Отдельные точки, отрезки, окружности и многоугольники сами по себе ещё не образуют орнамент: их нужно расположить в определённом порядке. Несколько элементов объединяют в мотив, например круг внутри многоугольника или чередование треугольников с линиями. Узнаваемость мотива возникает потому, что его части повторяются или согласованно располагаются относительно друг друга. Поэтому при разборе узора полезно сначала найти отдельные фигуры, а затем понять, как они соединены.
Чтобы покрыть орнаментом длинную полоску ткани или край посуды, достаточно несколько раз повторить один раппорт. Повторение удобно тем, что не требуется каждый раз придумывать рисунок заново: новая часть продолжает уже заданный порядок. Если раппорты одинаковы и укладываются без промежутков, длина полосы равна длине одного раппорта, умноженной на число повторений. Так можно заранее рассчитать, сколько узора поместится на изделии.
Перенос, поворот и отражение позволяют менять расположение мотива, не меняя его формы и размеров. При переносе все точки сдвигаются одинаково, при повороте фигура вращается вокруг выбранной точки, а при отражении располагается по другую сторону прямой или точки. Эти преобразования полезны, когда один и тот же мотив нужно разместить в разных частях изделия или построить более сложный узор. Поскольку длины и углы сохраняются, исходные фигуры остаются равными своим копиям.
Ось симметрии можно найти, проверяя, совпадут ли две части рисунка при отражении относительно предполагаемой прямой. Соответствующие точки должны находиться по разные стороны оси на одинаковом расстоянии, а соответствующие фигуры — совпадать по форме и размеру. Проверить догадку можно мысленным сгибанием рисунка по прямой или наложением его половин. Если части не совпадают, эта прямая не является осью симметрии всего узора.
Размеры раппорта позволяют вычислять характеристики украшенной части изделия. Если раппорт занимает прямоугольный участок, его площадь находят умножением длины на ширину, а периметр — сложением длин всех сторон. Для составных фигур площадь получают сложением площадей частей или вычитанием незакрашенных участков из общей площади. При нескольких одинаковых раппортах результат для одного фрагмента умножают на их число, если нужно найти суммарную площадь.
| Промысел или изделие | Основные геометрические элементы | Способ построения узора | Вид симметрии | Что можно вычислить |
|---|---|---|---|---|
| Гжельская роспись | Точки, линии, окружности, дуги | Сочетание отдельных мотивов, повторение элементов | Возможна осевая симметрия отдельных мотивов | Размеры и площадь выделенного участка узора |
| Хохломская роспись | Линии, окружности, овалы, листья и ягоды | Чередование и повторение растительных мотивов | Симметрия зависит от композиции | Длину полосы или площадь повторяющейся части |
| Дымковская игрушка | Круги, точки, полосы, треугольники | Чередование геометрических фигур и полос | Возможна симметрия отдельных деталей | Число элементов и размеры украшенной поверхности |
| Жостовская роспись | Окружности, дуги, овалы, линии | Группировка мотивов в композицию | Зависит от расположения мотивов | Площадь участка или размеры композиции |
| Полосовой орнамент на ткани или посуде | Треугольники, прямоугольники, окружности, отрезки | Повторение раппорта вдоль полосы | Переносная, иногда осевая симметрия | Длину узора, число раппортов, периметр и площадь |
Таблица помогает связать внешний вид изделия с геометрическими элементами и способом построения узора. У конкретного изделия композиция может отличаться, поэтому перечисленные виды симметрии не следует считать обязательными для каждого образца промысла. Для вычислений нужно выделить раппорт и использовать только те размеры, которые известны из условия или схемы.
На схеме орнамента изображены одинаковые треугольники и окружности. Нужно указать раппорт, определить число повторений и найти длину орнамента, если длина одного раппорта равна 6 см. Число одинаковых фрагментов на схеме нужно сосчитать. Раппортом будет самый короткий фрагмент, повторение которого полностью воспроизводит полосу.
Ответ: длина орнамента равна 6n см, где n — число раппортов на схеме. Например, при пяти повторениях длина составит 6 · 5 = 30 см. Чтобы назвать конкретное число повторений, необходимо видеть схему.
Узор составлен из двух одинаковых половин. Требуется провести все его оси симметрии и определить, какие элементы получены отражением относительно оси. Одного факта о двух одинаковых половинах недостаточно, чтобы установить количество осей: важны их расположение и форма всего узора. Поэтому проверять нужно каждую предполагаемую прямую отдельно.
Ответ: осью является каждая прямая, относительно которой обе части полностью совпадают. Отражёнными будут пары соответствующих фигур по разные стороны такой прямой. Без изображения нельзя указать конкретное число осей и перечислить элементы, но проверка выполняется по описанным признакам.
Прямоугольная панель размером 48 см на 20 см украшена четырьмя одинаковыми раппортами. Каждый содержит прямоугольник и два равных треугольника; нужно найти размеры раппорта и площадь незакрашенной части по схеме. Предположим, что четыре раппорта расположены подряд вдоль стороны 48 см и занимают всю ширину панели. Размеры одного раппорта тогда можно определить, но площадь незакрашенной части зависит от размеров фигур, которые в условии без схемы не указаны.
Ответ: размеры раппорта — 12 см на 20 см при указанном расположении. Точное значение незакрашенной площади без данных схемы о сторонах прямоугольника и основании с высотой треугольников определить нельзя; формула для неё приведена в решении.
За раппорт иногда принимают большой фрагмент, хотя его можно разделить на меньшие одинаковые повторяющиеся части. Так происходит, если считать повторяющимся любой заметный мотив, не проверяя, можно ли уменьшить выбранный участок. Проверьте себя: мысленно сдвиньте меньшую часть вдоль узора и убедитесь, что она продолжает его целиком. Если продолжение получается без пропусков и изменений, выбранный ранее фрагмент был не наименьшим.
Симметрию всего изделия путают с симметрией отдельного элемента орнамента. Отдельная фигура может быть симметричной, но её расположение рядом с другими элементами способно нарушить симметрию общего рисунка. Ошибку допускают, когда проверяют только одну заметную деталь. Чтобы проверить ответ, мысленно отразите весь узор относительно оси и убедитесь, что совпадают все его части.
Две фигуры могут выглядеть похоже, но не быть одинаковыми: у них могут различаться длины сторон или величины углов. Обычно это происходит, когда сравнивают общий силуэт, не проверяя размеры. Для отражённых элементов формы и размеры должны совпадать, а соответствующие точки должны быть на одинаковом расстоянии от оси. Сравните стороны и углы или попробуйте наложить фигуры друг на друга.
При вычислении длины или площади всей полосы можно забыть учесть число раппортов. Тогда ответ описывает только один фрагмент, хотя спрашивают обо всём узоре. Чтобы не ошибиться, сначала запишите, что найдено: величина для одного раппорта или для всех. Затем умножьте длину или площадь одного повторения на их число, а полученный результат проверьте по размерам изделия.
Для работы с орнаментами нужно узнавать геометрические фигуры, измерять длины и находить периметр и площадь прямоугольника и квадрата. Тема связана с симметрией, координатами и преобразованиями фигур: эти знания помогают описывать расположение элементов и проверять их равенство. Позже те же приёмы пригодятся в геометрических построениях, масштабировании, вычислении площадей и проектировании узоров. Так геометрические правила помогают не только анализировать готовые изделия, но и создавать собственные композиции.
Как отличить раппорт от произвольного фрагмента орнамента?
Раппорт — наименьшая часть, повторением которой можно составить весь орнамент без пробелов и изменений. Если фрагмент удаётся разделить на меньшие одинаковые повторяющиеся части, он не является наименьшим раппортом.
Может ли орнамент иметь несколько осей симметрии?
Да, у орнамента может быть две или больше осей симметрии. Например, квадратный узор может совпадать сам с собой при отражении относительно вертикальной, горизонтальной и диагональных прямых.
Почему при переносе узора его площадь не изменяется?
При переносе каждая точка фигуры сдвигается на одинаковое расстояние в одном направлении. Расстояния между точками и форма фигуры сохраняются, поэтому её площадь остаётся прежней.
Как найти число повторений орнамента, если известны длина изделия и раппорта?
Нужно разделить длину украшенной части изделия на длину одного раппорта. Например, если изделие имеет длину 48 см, а раппорт — 6 см, получится 48 : 6 = 8 повторений.
Какие геометрические фигуры чаще всего встречаются в народных орнаментах?
В орнаментах часто встречаются точки, отрезки, окружности, треугольники, прямоугольники и другие многоугольники. Их могут сочетать с линиями и растительными мотивами, поэтому конкретный узор не всегда состоит только из строгих геометрических фигур.
Народные промыслы
