"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа помогают считать предметы, измерять величины и записывать результаты вычислений. Натуральные числа расширяются целыми, а целые — рациональными: так можно описать нуль, отрицательные значения и дробные части. Чтобы работать с числами без ошибок, нужно понимать, что обозначают дроби, как выполнять действия и сравнивать результаты. Эти правила применяются при решении уравнений, задач на проценты и многих практических задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число — число, которое используют для счёта предметов: 1, 2, 3 и так далее. В этом соглашении натуральный ряд начинается с единицы, а множество натуральных чисел обозначают ℕ. Оно помогает записывать количество предметов и выполнять вычисления с такими количествами.
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и нуль: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …. На координатной прямой нуль находится в начале отсчёта, положительные числа располагаются справа, а отрицательные — слева. Так можно наглядно показывать, например, изменение температуры или высоты относительно уровня моря.
Рациональное число — число, которое можно представить дробью m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Знаменатель не равен нулю, поэтому деление в такой записи имеет смысл. Это определение объединяет целые числа и числа, выражающие части целого.
Обыкновенная дробь m/n обозначает частное числителя m и знаменателя n. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделили единицу, а числитель — сколько таких долей взяли. Например, в дроби 3/5 взяты три доли из пяти равных, поэтому дробная запись удобна для описания частей и результатов деления.
Числовые множества расширяют, когда прежних чисел недостаточно для решения задач. Натуральными числами нельзя выразить нулевое количество или результат вычитания большего числа из меньшего, поэтому к ним добавляют нуль и отрицательные числа, получая целые. Чтобы записывать части единицы и результаты деления, целые числа дополняют дробными; вместе они образуют рациональные числа.
Дробь связана с делением: запись m/n означает, что m делят на n. Одно и то же деление можно представить разными дробями, например 1/2 = 2/4, потому что числитель и знаменатель умножили на одно и то же ненулевое число. Значение дроби при этом не меняется: количество долей стало другим, но размер каждой доли изменился соответственно.
Правила действий с дробями сохраняют смысл обычных действий. При сложении или вычитании доли должны быть одинакового размера, поэтому дроби сначала приводят к общему знаменателю; при умножении перемножают числители и знаменатели. Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь, поскольку нужно выяснить, сколько раз делитель содержится в делимом; при этом делитель не может быть нулём, ведь деление на нуль не определено.
Порядок действий нужен, чтобы у одного выражения был один и тот же результат у всех, кто его вычисляет. Сначала считают выражения в скобках, затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Если подряд стоят действия одного приоритета, их выполняют слева направо: например, в 48 − 17 + 6 сначала вычитают 17, а затем прибавляют 6.
На координатной прямой больше то число, которое расположено правее: так сравнивают и положительные, и отрицательные числа. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, находят общий знаменатель и представляют дроби в равных им формах. При одинаковых положительных знаменателях достаточно сравнить числители: большая дробь соответствует большему числителю.
| Характеристика | Натуральные числа | Целые числа | Рациональные числа |
|---|---|---|---|
| Какие числа входят в множество | Положительные числа для счёта | Натуральные, противоположные им числа и нуль | Числа вида m/n, где m — целое, n — натуральное |
| Примеры | 1, 2, 15 | −4, 0, 8 | −3/2, 0, 5/7 |
| Можно ли выполнить сложение и вычитание без выхода за пределы множества | Сложение — да, вычитание — не всегда | Сложение — да, вычитание — да | Да, если действия определены |
| Можно ли выполнить умножение без выхода за пределы множества | Да | Да | Да |
| Когда деление не даёт число из этого множества | Если частное не натуральное или делитель равен нулю | Если частное не целое или делитель равен нулю | При делителе, равном нулю |
| Как представить число на координатной прямой | Точкой справа от нуля | Точкой слева или справа от нуля либо в нуле | Точкой, соответствующей его значению |
Таблица показывает, какие числа входят в каждое множество и какие действия могут вывести за его пределы. Например, 3 − 5 не является натуральным числом, зато это целое число −2. При делении всегда отдельно проверяй, не равен ли делитель нулю.
Вычислите 48 − 17 + 6 и объясните порядок действий. Здесь нет скобок и умножения, а вычитание и сложение имеют одинаковый приоритет. Поэтому идём слева направо, не переставляя действия.
Сначала вычисляем 48 − 17 = 31. Это первое действие, стоящее в выражении слева.
К результату прибавляем 6: 31 + 6 = 37. Ответ: 37.
Сравните 5/6 и 7/9. Знаменатели различны, поэтому сравнение числителей 5 и 7 напрямую ничего не доказывает: дробные части имеют разный размер. Приведём дроби к общему знаменателю 18.
Для 5/6 умножаем числитель и знаменатель на 3: 5/6 = 15/18. Значение дроби сохраняется.
Для 7/9 умножаем числитель и знаменатель на 2: 7/9 = 14/18. При равных знаменателях сравниваем числители: 15 > 14, значит, 5/6 > 7/9.
Вычислите 2 − (3/4 + 5/6) · 3/5 и запишите результат несократимой дробью. Сначала нужно посчитать сумму в скобках, затем умножение и только после этого вычитание. В конце проверим, можно ли сократить полученную дробь.
В скобках приводим дроби к знаменателю 12: 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12. Тогда 3/4 + 5/6 = 19/12.
Выполняем умножение: 19/12 · 3/5 = 57/60 = 19/20. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 3.
Представляем целое число с тем же знаменателем: 2 = 40/20. Вычитаем: 40/20 − 19/20 = 21/20. Числа 21 и 20 не имеют общего делителя, кроме 1, поэтому ответ: 21/20.
Иногда нуль автоматически включают в натуральные числа, потому что так принято в отдельных курсах. Но в данном определении натуральный ряд начинается с единицы, а соглашения могут различаться. Проверь начало ряда и обозначение ℕ в используемом курсе; не переноси привычное правило без проверки.
При сложении дробей нельзя складывать числители и знаменатели отдельно: например, 1/2 + 1/3 — не 2/5. Эту ошибку допускают, перенося на дроби правило сложения целых чисел, хотя знаменатели задают разные размеры долей. Проверь себя, приведя дроби к общему знаменателю: получится 3/6 + 2/6 = 5/6.
Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой множитель, а не вычитание одинакового числа. Вычитание меняет значение дроби и не сохраняет отношение числителя к знаменателю. Чтобы проверить сокращение, умножь получившиеся числитель и знаменатель на использованный делитель: должны получиться исходные числа.
Если сначала выполнить сложение, а потом умножение, результат может измениться; нельзя и делить на нуль. Такие ошибки возникают, когда порядок действий забывают или считают деление на нуль обычным действием. Проверь выражение по ступеням приоритета, а перед делением убедись, что делитель не равен нулю.
Для работы с числами нужны таблица умножения, понимание сложения, вычитания, умножения и деления, а также умение читать числовые выражения. Эти знания помогают выполнять действия и соблюдать их порядок. Если смысл операции неясен, полезно проверить вычисление обратным действием.
Координатная прямая связывает каждое число с его положением. Она помогает сравнивать числа: расположенное правее число больше, в том числе когда речь идёт об отрицательных значениях. Так числовая запись получает наглядное геометрическое представление.
Числа и правила вычислений нужны при решении уравнений, задач на проценты и работе с величинами. Умение обращаться с дробями помогает находить части целого, а сравнение чисел — оценивать полученные результаты. Эти навыки встречаются и в повседневных расчётах.
Считается ли нуль натуральным числом?
В принятом здесь соглашении натуральный ряд начинается с единицы: 1, 2, 3, …, поэтому нуль не является натуральным числом. В некоторых курсах нуль включают в натуральные числа, так что ориентируйся на определение, принятое в учебнике.
Почему на нуль делить нельзя?
Деление проверяет, какое число при умножении на делитель даст делимое. Для деления на нуль такого результата нет, если делимое ненулевое, а при нулевом делимом ответ нельзя определить единственным образом. Поэтому деление на нуль не определено.
Как понять, какая из двух дробей больше?
Преобразуй дроби так, чтобы у них были одинаковые положительные знаменатели. Тогда сравни числители: больше та дробь, у которой числитель больше. Например, 5/6 = 15/18, а 7/9 = 14/18, значит, 5/6 > 7/9.
Можно ли сократить дробь, если числитель и знаменатель не делятся на одно и то же число?
Нет, сокращение возможно, только если числитель и знаменатель делятся на один и тот же ненулевой множитель. Если такого общего делителя, кроме 1, нет, дробь уже несократима. Вычитать одно и то же число из числителя и знаменателя нельзя.
В каком порядке выполнять действия, если в выражении есть скобки и дроби?
Сначала выполняй действия в скобках, затем умножение и деление, после них — сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняются слева направо. Для дробей действуют те же правила порядка, но при сложении и вычитании сначала приводят их к общему знаменателю.
Числа и вычисления
