Числа, большие 1000

Определения и обозначения

Натуральное число — число, используемое при счёте: 1, 2, 3 и так далее. После 1000 натуральный ряд не заканчивается: за ним идут 1001, 1002, 1003 и другие числа. Это понятие помогает понимать, что большие числа подчиняются тем же правилам счёта.

Разряд — позиция цифры в записи числа, от которой зависит её значение. Разряды называют единицами, десятками, сотнями, тысячами и далее. Разряд нужен, чтобы определить, сколько единиц каждого вида содержит число.

Класс — группа из трёх соседних разрядов, отсчитываемая справа налево. Выделяют класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов и следующие классы. Классы упрощают чтение и запись длинных чисел.

Разрядная единица — число, соответствующее одному разряду: 1, 10, 100, 1000 и далее. Например, разрядная единица десятков равна 10, а разрядная единица сотен тысяч — 100 000. С её помощью можно понять значение цифры в конкретной позиции.

Как это устроено

Натуральный ряд после 1000 продолжается по тому же правилу: к числу прибавляют единицу. Для записи новых чисел не нужны новые знаки, потому что десятичная система использует цифры от 0 до 9, а значение знака меняется благодаря его позиции. Например, после 999 получается 1000: единицы и десятки обнуляются, а появляется единица тысяч.

Одна и та же цифра может обозначать разное количество. В числе 5 555 первая цифра означает пять тысяч, следующая — пять сотен, затем пять десятков и пять единиц. Это происходит потому, что каждый следующий разряд слева в десять раз больше предыдущего.

Разряды объединяют по три, поскольку после единиц идут тысячи, а после тысяч — миллионы. В записи 12 345 678 группы 12, 345 и 678 показывают миллионы, тысячи и единицы. Такая группировка сразу показывает крупные части числа и снижает риск ошибки при чтении.

Число читают слева направо, называя число в каждом классе и добавляя название класса. Сначала произносят группу миллионов, затем тысяч, затем единиц; название последнего класса не добавляют. Нулевой класс или отдельный нулевой разряд не читают: в числе 305 080 говорят «триста пять тысяч восемьдесят».

Чтобы записать число по названию, сначала определяют, сколько единиц приходится на каждый класс. Затем внутри каждого класса расставляют сотни, десятки и единицы, а пропущенные разряды обозначают нулями. Например, «три миллиона семь тысяч пять» — это 3 007 005: нули сохраняют места сотен тысяч, десятков тысяч, сотен и десятков.

Разряды и классы натуральных чисел

Пользуйтесь таблицей как картой записи числа: найдите нужный класс, а затем его три разряда. Классы всегда отсчитывают справа налево, начиная с класса единиц. Если какой-либо разряд не используется, на его месте должна стоять цифра 0.

Разбор задач

Задача 1. Прочитайте число 7 042. Пробел уже отделяет класс тысяч от класса единиц. Нужно прочитать сначала левую группу, затем правую, не называя класс единиц.

1. В группе 7 находится семь единиц класса тысяч, поэтому говорим «семь тысяч».
2. В группе 042 — четыре десятка и две единицы; ноль сотен не произносим.
3. Соединяем части: «семь тысяч сорок два».

Ответ: семь тысяч сорок два.

Задача 2. Запишите цифрами число: двадцать три тысячи пятьсот восемь. В названии есть класс тысяч «двадцать три» и класс единиц «пятьсот восемь». Десятков в последней группе нет, поэтому их место нужно сохранить нулём.

1. Записываем класс тысяч: 23.
2. Записываем класс единиц из слов «пятьсот восемь»: 508.
3. Объединяем группы: 23 508.

Ответ: 23 508.

Задача 3. Сравните числа 305 080 и 350 008. В обоих числах по шесть цифр, поэтому сначала сравниваем старшие разряды. Первые цифры равны, и различие появляется в десятках тысяч.

1. Сравниваем сотни тысяч: 3 = 3.
2. Сравниваем десятки тысяч: 0 меньше 5.
3. Значит, первое число меньше второго; дальнейшие цифры уже не изменят результат.

Ответ: 305 080 < 350 008.

Типичные ошибки

Читают цифры подряд. Ошибка возникает, когда длинную запись воспринимают как цепочку отдельных знаков. Разбейте число справа налево на группы по три и читайте каждую группу как отдельное число.

Пропускают нули при записи. Ученик слышит, что разряд не назван, и не записывает его. Проверьте, чтобы в каждой группе, кроме самой левой, было ровно три цифры: ноль сохраняет место отсутствующего разряда.

Называют класс единиц. По аналогии с тысячами хочется добавить к последней группе слово «единиц». При обычном чтении это название не произносят: после класса тысяч сразу называют единицы, десятки и сотни последней группы.

Сравнивают числа по последним разрядам. Такая ошибка появляется, если смотреть на знакомые единицы, не учитывая порядок числа. Начинайте со старшего разряда слева и переходите вправо только при равенстве предыдущих цифр.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь продолжать натуральный ряд, пользоваться десятичной записью и различать единицы, десятки и сотни. Эти знания объясняют, почему место цифры определяет её значение.

Разряды и классы нужны при чтении, записи и сравнении многозначных чисел. Они также помогают правильно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление столбиком.

Тема станет основой для округления чисел и действий с многозначными числами. При округлении обращаются к определённому разряду, а при вычислениях следят за переходами между разрядами.

Что запомнить

• В десятичной записи используются цифры от 0 до 9.
• Значение цифры зависит от её позиции в числе.
• Три соседних разряда образуют класс.
• Классы считают справа налево, начиная с класса единиц.
• Большое число читают по классам слева направо.
• Нули обозначают отсутствующие разряды и при записи числа не пропускаются.