"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Сравнение чисел помогает определить, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Результат записывают с помощью знаков >, < и =, а проверить его можно на числовой прямой: большее число расположено правее. Для разных видов чисел используют свои приёмы: натуральные сравнивают по разрядам, отрицательные — с учётом их положения относительно нуля, а дроби приводят к общему знаменателю или десятичному виду.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сравнение чисел — это установление того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Сравнить числа можно по их записи, вычислениям или расположению на числовой прямой. Результат сравнения помогает упорядочить числа и выбрать верное действие при решении задачи.
Знаки сравнения — обозначения >, < и =, которые показывают результат сравнения. Запись 8 > 5 означает, что восемь больше пяти, а 8 = 8 — что числа равны. Знаки позволяют коротко и однозначно передать ответ.
Неравенство — запись, содержащая знак > или < и выражающая отношение между числами. Например, 4 < 9 — неравенство, которое читают «четыре меньше девяти». Такие записи нужны, чтобы описывать условия и ответы в задачах, где числа не равны.
Числовая прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. Начало отсчёта соответствует нулю, а единичный отрезок задаёт расстояние между соседними целыми числами. Числовая прямая помогает наглядно сравнивать числа и проверять, верно ли выбран знак.
При сравнении двух чисел возможны ровно три результата: первое число больше второго, меньше него или равно ему. Это следует из порядка чисел: если они не совпадают, одно обязательно расположено раньше, а другое позже. Поэтому знаки >, < и = охватывают все варианты и для пары чисел выбирают только один из них.
На числовой прямой числа располагаются в порядке возрастания слева направо. Это связано с направлением отсчёта: при движении вправо к числу прибавляются положительные величины, поэтому оно увеличивается. Значит, точка правее соответствует большему числу, а точка левее — меньшему; совпавшие точки обозначают равные числа.
У натуральных чисел сначала сравнивают количество цифр, потому что каждая дополнительная цифра означает переход к более крупному разряду. Например, любое четырёхзначное число больше любого трёхзначного. Если цифр поровну, сравнивают разряды слева направо, начиная со старшего: первая различающаяся цифра определяет, какое число больше.
Для целых чисел учитывают знак и положение относительно нуля. Положительные числа находятся правее нуля, а отрицательные — левее, поэтому любое положительное число больше любого отрицательного. Среди отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю: например, −2 больше −6, потому что на прямой −2 расположено правее.
Дроби с разными знаменателями сравнивать напрямую неудобно: знаменатели показывают, на сколько частей разделено целое. Чтобы части стали одинаковыми, обыкновенные дроби приводят к общему знаменателю и сравнивают числители. Десятичные дроби можно дополнить нулями справа после запятой до одинакового числа знаков, а затем сравнить как натуральные числа.
| Какие числа сравниваются | Основной способ | Что является результатом |
|---|---|---|
| Натуральные числа с разным количеством цифр | Сравнить количество цифр | Больше число с большим количеством цифр |
| Натуральные числа с одинаковым количеством цифр | Сравнивать цифры по разрядам слева направо | Больше число с большей цифрой в первом различающемся разряде |
| Целые числа разных знаков | Учесть знак и положение относительно нуля | Положительное число больше отрицательного |
| Отрицательные целые числа | Сравнить положение на числовой прямой или расстояние от нуля | Больше число, расположенное ближе к нулю |
| Обыкновенные дроби | Привести к общему знаменателю | Сравнить числители полученных дробей |
| Десятичные дроби | Уравнять количество цифр после запятой нулями | Сравнить полученные записи по разрядам |
Найди в таблице строку, подходящую к данным числам, и используй указанный способ. После сравнения запиши результат подходящим знаком. Если сомневаешься, проверь порядок чисел на числовой прямой.
Задача 1. Сравнить числа 438 и 472 и записать результат с помощью знака сравнения. У чисел одинаковое количество цифр, поэтому нужно сравнить их разряды слева направо. Первая различающаяся цифра — в разряде десятков.
Ответ: 438 < 472. Сравнение разрядов нужно вести слева направо: цифры единиц не могут изменить результат, уже определённый разрядом десятков.
Задача 2. Сравнить числа −7 и −3, объяснив ответ с помощью числовой прямой. Оба числа отрицательные, поэтому правило для положительных чисел по величине цифр здесь не подходит. Нужно определить, какая точка расположена правее.
Ответ: −7 < −3. Проверка по расстоянию от нуля тоже подходит: −3 ближе к нулю, поэтому оно больше. Знак записан так, чтобы раскрытая сторона была обращена к −3.
Задача 3. Сравнить дроби 5/8 и 7/12. Знаменатели различаются, поэтому сначала сделаем их одинаковыми. Общий знаменатель 24 подходит, так как делится и на 8, и на 12.
Ответ: 5/8 > 7/12. При приведении дроби к общему знаменателю её величина не меняется, потому что числитель и знаменатель умножаются на одно и то же число. Сравнивать стало удобно, поскольку целое разделено на одинаковое количество равных частей.
Ошибка: считать, что отрицательное число с большим модулем больше другого отрицательного числа. Так происходит, когда правило для положительных чисел переносят на отрицательные: −7 не больше −3, а меньше него. Проверь себя по прямой: −7 расположен левее −3.
Ошибка: сравнивать натуральные числа только по последней цифре. Например, цифра единиц не определяет, какое из чисел 438 и 472 больше, потому что раньше различаются десятки. Сравнивай разряды слева направо и остановись на первом различии.
Ошибка: перепутать направления знаков > и <. Обычно знак запоминают только по виду, не связывая его с величиной чисел. Проверь запись чтением слева направо и помни: раскрытая сторона обращена к большему числу, острый конец — к меньшему.
Ошибка: сравнивать дроби только по числителям или только по знаменателям. Это может привести к неправильному ответу, потому что размер частей зависит от знаменателя, а число таких частей — от числителя. Приведи дроби к общему знаменателю и сравни получившиеся числители.
Для сравнения нужны знания о натуральных, целых и дробных числах, разрядах, координатах точек и общем знаменателе дробей. Сама числовая прямая помогает связывать порядок чисел с координатами и расстоянием от нуля, которое называют модулем числа. Навык сравнения пригодится при решении неравенств и упорядочивании числовых выражений. Он также используется при сравнении значений функций, когда нужно определить, какое значение больше при заданных аргументах.
Почему знак < раскрытой стороной обращён к большему числу?
Знак показывает, что число у его раскрытой стороны больше числа у острого конца. Например, в записи 3 < 8 раскрытая сторона обращена к восьмёрке. Так знак удобно читать слева направо: «3 меньше 8».
Как быстро сравнить два отрицательных числа?
Представь их на числовой прямой: правее расположено большее число. Поэтому из −7 и −3 больше −3: оно ближе к нулю. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше.
Можно ли сравнивать дроби только по числителям?
Не всегда: отдельно числители не показывают величину дробей, если знаменатели разные. Сначала приведи дроби к общему знаменателю или запиши их в десятичном виде. Тогда сравнивай получившиеся числа.
Что делать, если у натуральных чисел одинаковое количество цифр?
Сравнивай цифры по разрядам, начиная со старшего: сначала сотни или тысячи, затем следующие разряды. На первом месте, где цифры различаются, больше будет число с большей цифрой. Если все цифры совпадают, числа равны.
Как проверить правильность сравнения с помощью числовой прямой?
Отметь оба числа на прямой, соблюдая порядок и равные единичные отрезки. Если первое число расположено правее второго, оно больше; если левее — меньше. Совпавшие точки соответствуют равным числам.
Сравнение чисел
