"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Прямой угол — это угол величиной 90°. Он возникает при пересечении перпендикулярных прямых и служит удобной мерой для сравнения других углов. Узнать его можно по градусной мере или проверить угольником, даже если нет транспортира. Знание прямого угла помогает различать острые, тупые и развёрнутые углы, строить фигуры и разбираться в задачах на пересекающиеся прямые.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угол — фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Эту общую точку называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, в записи ∠ABC вершина — B, а стороны проходят через точки A и C. Такое обозначение помогает точно указать, какой угол рассматривают, особенно если у одной вершины их несколько.
Прямой угол — угол, градусная мера которого равна 90°. Его часто отмечают на чертеже маленьким квадратом у вершины, чтобы показать, что угол проверен и является прямым. По этому признаку можно распознавать прямые углы в фигурах и не измерять их повторно. Однако сам рисунок без отметки не всегда позволяет определить точную величину.
Градусная мера угла — число градусов, показывающее величину угла. Её можно измерить транспортиром, а затем сравнить результат с 90°. Если получено ровно 90°, угол прямой; если число другое, это другой вид угла. Эта мера нужна, чтобы сравнивать углы не только по внешнему виду.
Перпендикулярные прямые — пересекающиеся прямые, образующие четыре прямых угла. Их пересечение обозначают специальным знаком прямого угла, когда это свойство нужно выделить на чертеже. Перпендикулярность означает не просто пересечение, а строго определённое расположение прямых. Понятие помогает описывать направления и строить фигуры с прямыми углами.
Когда две прямые пересекаются, вокруг точки пересечения образуются четыре угла. Если прямые перпендикулярны, они пересекаются под таким наклоном, при котором каждый из этих углов равен 90°. Это следует из свойств углов: противоположные углы при пересечении равны, а соседние в сумме дают 180°. Если один угол равен 90°, соседний тоже равен 90°, и так получаются все четыре прямых угла.
Полный оборот — это поворот вокруг точки до возвращения в исходное положение. Его величина составляет 360°, а прямой угол занимает четверть такого оборота: 360° : 4 = 90°. Именно поэтому прямой угол можно представить как четверть круга. Деление полного оборота на равные части даёт наглядный способ понять, откуда берётся величина 90°.
Чтобы распознать прямой угол, можно приложить к нему угольник. Угольник имеет угол в 90°, поэтому его вершину совмещают с вершиной проверяемого угла, а одну сторону — с одной стороной угла. Если другая сторона угольника совпала со второй стороной проверяемого угла, углы равны. Сравнение с эталоном особенно полезно, когда транспортир недоступен или рисунок сложный.
Развёрнутый угол образуется, когда стороны угла являются противоположными лучами и лежат на одной прямой. Его мера равна 180°, то есть он состоит из двух прямых углов: 90° + 90° = 180°. Поэтому если прямой угол разделяет развёрнутый пополам, каждая его часть тоже будет прямой. Эта связь позволяет находить неизвестный угол, когда известен соседний.
Углы различают по градусной мере. Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°, а развёрнутый равен 180°. Сравнение именно с границами 90° и 180° помогает не полагаться на впечатление от рисунка. Например, угол, который кажется широким, всё ещё может быть острым, если его мера меньше 90°.
| Вид угла | Градусная мера | Как выглядит или распознаётся |
|---|---|---|
| Острый угол | Больше 0° и меньше 90° | Меньше прямого угла |
| Прямой угол | 90° | Проверяется угольником; отмечается квадратом у вершины |
| Тупой угол | Больше 90° и меньше 180° | Больше прямого, но меньше развёрнутого |
| Развёрнутый угол | 180° | Его стороны лежат на одной прямой и направлены в разные стороны |
Сначала сравни меру угла с 90°, а затем — если она больше — с 180°. Для угла на рисунке без указанной меры используй транспортир или сравнение с угольником. Таблица помогает назвать вид угла точно, не полагаясь только на его внешний вид.
Дан угол, градусная мера которого равна 90°. Нужно определить его вид. Для ответа достаточно сопоставить данное значение с определением прямого угла.
Вспомним определение: прямым называют угол, градусная мера которого равна 90°. Это точное условие, а не приблизительная оценка. Поэтому внешний вид угла в этой задаче не требуется.
Сравним данную меру с указанной в определении. Получаем равенство: 90° = 90°. Значит, условие выполняется полностью.
Назовём угол прямым. Такой вывод следует именно из его градусной меры, поэтому он останется верным, даже если чертёж выглядит не вполне аккуратно. При оформлении ответа можно указать использованное определение.
Ответ: да, угол является прямым.
На чертеже изображено несколько углов, а требуется найти все прямые и назвать их. Условия о величинах углов не даны, поэтому нужно проверить их с помощью угольника. Пусть на чертеже вершины обозначены буквами, а стороны проходят через отмеченные точки.
Выберем один угол и совместим вершину угольника с вершиной этого угла. Затем приложим одну сторону угольника к одной стороне угла. Важно удерживать вершины точно одну над другой, иначе сравнение будет неверным.
Проверим, совпала ли другая сторона угольника со второй стороной угла. Совпадение означает, что угол равен эталонному углу 90°. Если стороны расходятся, проверяемый угол прямым не является.
Повторим проверку для каждого угла, в том числе для углов, расположенных рядом с уже проверенными. Найденный угол назовём по его вершине и точкам на сторонах, например ∠ABC. Так в ответ попадут все прямые углы, а не только первый найденный.
Ответ: прямыми являются углы, у которых стороны совпали со сторонами угольника; их записывают по обозначениям на данном чертеже.
Два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются противоположными лучами; такие углы называют смежными. Один угол прямой, и требуется найти меру второго и сделать вывод о расположении сторон. Нужно воспользоваться свойством смежных углов.
Меры смежных углов в сумме дают 180°, потому что вместе они образуют развёрнутый угол. Обозначим меру второго угла через x. Тогда 90° + x = 180°.
Вычтем из 180° известную меру прямого угла: x = 180° − 90° = 90°. Значит, второй угол тоже прямой. Здесь важно вычитать именно из меры развёрнутого угла, а не складывать углы.
Смежные углы имеют общую сторону, а их внешние стороны образуют две пересекающиеся прямые. Поскольку оба угла равны 90°, эти прямые перпендикулярны. Следовательно, их пересечение образует четыре прямых угла.
Ответ: второй угол равен 90°; прямые, образующие смежные углы, перпендикулярны.
Ошибка — считать прямым любой угол, похожий на букву «Г». Так делают, потому что глаз оценивает форму приблизительно, а чертёж может быть нарисован с искажением. Проверь угол угольником или транспортиром: прямой угол должен быть равен 90°.
Ошибка — путать прямой и развёрнутый углы. Оба названия относятся к особым углам, но их меры различны: прямой равен 90°, развёрнутый — 180°. Чтобы проверить себя, вспомни, что развёрнутый угол вдвое больше прямого.
Ошибка — называть перпендикулярными любые пересекающиеся прямые. Такое заблуждение возникает, если считать достаточным сам факт пересечения, но прямые могут пересекаться под разными углами. Проверь, образуют ли они четыре прямых угла; только тогда прямые перпендикулярны.
Ошибка — неправильно прикладывать угольник: например, не совмещать вершины или проверять только одну сторону. При таком сравнении вторая сторона может оказаться направлена иначе, и результат будет неверным. Совмести вершину угольника с вершиной угла и проверь совпадение обеих сторон.
Для изучения прямого угла нужно знать, что такое луч, вершина и стороны угла, а также уметь измерять углы транспортиром. Эти знания помогают точно описывать фигуры и проверять градусную меру, а не полагаться только на рисунок. Если эти понятия пока вызывают затруднения, полезно сначала повторить их.
Прямые углы встречаются в прямоугольниках и квадратах: их стороны образуют углы по 90°. Перпендикулярные направления используются и при работе с координатной плоскостью, и при геометрических построениях. Поэтому умение распознавать прямой угол помогает читать чертежи и строить фигуры.
Связь прямого и развёрнутого углов помогает решать задачи на смежные углы, а свойства пересекающихся прямых — задачи на вертикальные углы. Если один из смежных углов прямой, второй тоже равен 90°. Так знание одного угла позволяет сделать вывод о других углах и о взаимном расположении прямых.
Как понять, что угол прямой, если его нельзя измерить транспортиром?
Приложи угольник так, чтобы его вершина совпала с вершиной угла, а одна сторона — с одной из сторон угла. Если вторая сторона угольника совпадает со второй стороной угла, он прямой. Угольник позволяет сравнить угол с эталоном в 90°.
Чем прямой угол отличается от развернутого?
Прямой угол равен 90°, а развернутый — 180°. Развернутый угол вдвое больше прямого и выглядит как прямая линия с вершиной посередине.
Почему при пересечении перпендикулярных прямых образуются четыре прямых угла?
Перпендикулярные прямые пересекаются так, что каждый из четырёх углов при пересечении равен 90°. Соседние углы составляют развёрнутый угол, а противоположные равны. Поэтому все четыре угла оказываются прямыми.
Можно ли назвать угол прямым, если он выглядит почти как угол в 90°?
Нет, одного сходства на глаз недостаточно: рисунок может быть выполнен неточно или подан под наклоном. Прямым угол считается, только если его мера равна 90°. Проверь его транспортиром или угольником.
Как найти прямые углы на сложном чертеже?
Сначала отметь все вершины, в которых могут встречаться стороны углов. Затем по очереди прикладывай угольник к каждой вершине, совмещая его стороны со сторонами проверяемого угла. Для каждого найденного угла назови вершину и стороны, чтобы не перепутать его с соседним.
Прямой угол
