Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек. Иногда фигура состоит из одной точки, а иногда — из множества точек, расположенных определённым образом. Такое понятие помогает описывать геометрические объекты разной сложности: от одной отметки до целых линий и других форм.

Точка — простейшая геометрическая фигура, не имеющая частей. На чертеже её показывают маленькой отметкой и обозначают заглавной латинской буквой, например A или B. Это позволяет точно указывать, о каком месте на чертеже идёт речь.

Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается бесконечно в обе стороны. Её можно обозначить строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней: прямая AB. Эти способы помогают назвать линию, не смешивая её с отдельной точкой.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а сам отрезок обозначают двумя заглавными буквами его концов, например AB. Такое обозначение показывает, где отрезок начинается и заканчивается, и позволяет отличить его от прямой.

Как это устроено

Геометрические фигуры изображают на чертеже, потому что их расположение удобнее рассматривать глазами. Однако чертёж — только наглядная модель: у отметки на бумаге есть размер, а математическая точка частей не имеет; начерченная линия тоже не может быть бесконечной. Поэтому рисунок помогает понять отношения между объектами, но идеальные свойства фигур задаются определениями.

Через любые две различные точки можно провести прямую, и такая прямая будет единственной. Если бы через те же точки проходили две разные прямые, они не совпадали бы, хотя обе должны были бы проходить через каждую из этих точек; это противоречит свойству единственности. При построении достаточно приложить линейку к двум отмеченным точкам и провести линию по её краю: полученная линия задаёт нужную прямую.

Если на прямой отметить две точки, они разделят её на части. Часть между этими точками вместе с самими точками образует отрезок, потому что именно точки ограничивают его с двух сторон. Остальные части прямой продолжаются за отмеченные точки и не входят в этот отрезок.

Точки на отрезке можно располагать по-разному: например, по-разному выбирать прямую, содержащую его, или поворачивать и перемещать сам отрезок. Поэтому один и тот же отрезок может быть частью разных прямых, но его длина не меняется: при перемещении сохраняется расстояние между концами. Это позволяет отличать свойства самой фигуры от её положения на чертеже.

Фигуры сравнивают по тому, из каких точек они состоят и как эти точки расположены. В частности, две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением так, чтобы они совпали целиком. Такое сравнение не зависит от того, где фигуры нарисованы и как они повёрнуты: важны их форма и размеры.

Основные геометрические фигуры

Сначала посмотрите, какие буквы использованы: заглавные обычно называют точки или концы отрезка, строчная может обозначать прямую. Затем проверьте свойства фигуры: у отрезка есть концы, а прямая мысленно продолжается в обе стороны. Обозначение двумя точками само по себе требует внимания к контексту: прямую AB и отрезок AB различают по смыслу задачи и виду фигуры.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке отмечены точки A и B. Нужно назвать прямую, проходящую через них, и отрезок с концами A и B. Здесь важно не перепутать бесконечную линию с её частью между точками. Обозначения используют одни и те же буквы, но называют разные фигуры.

1. Прямая проходит через точки A и B и продолжается за них в обе стороны.
2. По двум точкам её называют прямой AB; если на чертеже есть строчная буква, можно использовать и её.
3. Часть прямой от A до B, ограниченная этими точками, — отрезок AB.

Ответ: прямая AB и отрезок AB. Чтобы не смешать их, при чтении обозначения уточняйте, идёт ли речь о всей линии или только о части между концами. У отрезка концы явно заданы точками A и B.

Задача 2

Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Требуется перечислить отрезки, которые можно выделить этими точками. Отрезок задаётся парой концов, поэтому нужно проверить все возможные пары из трёх точек. Положение B помогает понять, как эти отрезки расположены относительно друг друга.

1. Выберем пару A и B: получим отрезок AB.
2. Выберем пару B и C: получим отрезок BC.
3. Оставшаяся пара A и C задаёт отрезок AC, который содержит точку B внутри.

Ответ: AB, BC и AC. Других пар точек из A, B и C нет, поэтому список полный. Условие о том, что B находится между A и C, показывает порядок точек, но не меняет правило образования отрезка по двум концам.

Задача 3

Через точки A и B проведены две линии, которые на рисунке выглядят немного по-разному. Нужно решить, может ли каждая быть прямой, проходящей через A и B. Сначала следует применить свойство прямой, а не делать вывод только по внешнему виду рисунка. Затем нужно объяснить, почему изображение могло ввести в заблуждение.

1. Проверим, что A и B — две различные точки.
2. По свойству через любые две различные точки проходит единственная прямая.
3. Значит, две разные прямые через A и B невозможны; небольшие различия на рисунке связаны с неточностью чертежа.

Ответ: нет, обе линии не могут быть разными прямыми, проходящими через A и B. Если обе точно проходят через эти точки, математически они должны совпасть. На бумаге линии могут выглядеть неодинаково из-за погрешности проведения или изображения.

Типичные ошибки

Ошибка — считать нарисованную линию настоящей прямой конечной длины. Так думают, потому что на листе видны только её края; чертёж физически не может показать бесконечность. Проверьте себя: если речь идёт о прямой, мысленно продолжите её за пределы изображения в обе стороны.

Прямую часто путают с отрезком, поскольку обе фигуры на рисунке выглядят как линии. Но у отрезка есть два конца, а прямая бесконечно продолжается в обе стороны. Чтобы проверить ответ, найдите на чертеже отмеченные концы: если они ограничивают фигуру, перед вами отрезок.

Иногда точку обозначают строчной буквой или принимают букву за название любой фигуры. Это происходит, когда забывают привычное правило записи: точки обычно называют заглавными латинскими буквами, а прямые могут обозначать строчными. Сверьте букву с условными обозначениями и посмотрите, где она поставлена — рядом с отметкой-точкой или с линией.

Ошибочно считать, что через одни и те же две точки можно провести несколько разных прямых. На рисунке линии могут разойтись из-за неточности, но через две различные точки проходит только одна прямая. Для проверки вспомните это свойство и убедитесь, что точки действительно различны: именно оно определяет ответ, а не внешний вид чертежа.

Связь с другими темами

Для работы с точками, прямыми и отрезками нужно уметь читать буквенные обозначения, различать отметку точки и линию, а также пользоваться линейкой. Эти навыки помогают аккуратно выполнять построения и понимать, какие объекты заданы в условии. Если чертёж неидеален, опирайтесь прежде всего на определения и свойства фигур.

Точка, прямая и отрезок служат основой для понятий луча, угла и многоугольника. Например, луч связан с прямой и имеет начало, а стороны многоугольника являются отрезками. Знание простейших фигур также пригодится в задачах на построение и измерение.

Что запомнить

• Точка — простейшая геометрическая фигура.
• Через любые две различные точки проходит единственная прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Отрезок ограничен двумя точками.
• Буквы на чертеже помогают называть фигуры и их элементы.
• Чертёж изображает геометрические объекты, но не передаёт их идеальные свойства полностью.