"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Задача «Сколько страниц в книге?» учит переводить текстовое условие в уравнение. За неизвестное обычно принимают общее число страниц, а прочитанную часть и остаток выражают через него или задают числами. Поскольку вся книга состоит из прочитанного и непрочитанного, их количества связывают равенством. Решение уравнения помогает найти число страниц, а проверка показывает, подходит ли результат к условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неизвестное — число, обозначенное буквой и подлежащее нахождению. В задаче о книге удобно обозначить через x общее число страниц: именно его требуется узнать, а прочитанное и оставшееся можно выразить через это целое. Одна буква помогает записать условие короче и не путать искомую величину с известными числами.
Уравнение — равенство, содержащее неизвестное и описывающее связь между величинами задачи. Например, запись x − 18 = 12 означает, что после прочтения 18 страниц осталось 12. Уравнение нужно, чтобы собрать данные условия в одну математическую запись и найти неизвестное с помощью известных действий.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Для уравнения x − 18 = 12 корень равен 30, потому что 30 − 18 действительно равно 12. Это понятие позволяет отличить подходящее значение от любого другого числа, которое можно подставить вместо x.
Решить уравнение — значит найти все его корни и проверить полученный результат. Проверка состоит не только в подстановке числа в уравнение: нужно также убедиться, что оно подходит исходному условию задачи. Так можно заметить ошибку в вычислениях или в составлении модели.
Сначала реши, что обозначить буквой. Чаще всего x — общее число страниц, потому что именно его спрашивают, а части книги удобно описывать через целое: например, треть книги — x/3. Иногда проще обозначить остаток, если о нём сообщено больше всего, но тогда прочитанное и общее число нужно выразить через выбранную величину. Выбор стоит сделать так, чтобы запись условия получилась понятной.
Затем выдели известные величины и выясни, что они описывают: число уже прочитанных страниц, долю книги или остаток. Прочитанное «ещё 24 страницы» прибавляют к прочитанной доле, а оставшиеся 60 страниц — отдельная часть книги. Связь между ними появляется из слов задачи: они могут в сумме составлять книгу или после чтения оставлять заданное количество. Такая запись и называется математической моделью — переводом условия задачи на язык математики.
Если книга разделена на части без пропусков и наложений, все части вместе дают целое. Поэтому число всех страниц равно сумме прочитанных и оставшихся; если прочитанные страницы уже выражены несколькими слагаемыми, их тоже включают в сумму. Например, при прочитанной трети книги и ещё 24 страницах, а также остатке 60 страниц, верно x/3 + 24 + 60 = x. Эта связь объясняет, почему в модели ставят знак равенства, а не просто перечисляют отдельные числа.
Уравнение преобразуют так, чтобы неизвестное постепенно осталось одно. При этом равенство сохраняется, если выполнить одинаковое действие с его левой и правой частями: например, вычесть 60 из обеих частей или умножить обе части на 3. Правило «перенести слагаемое и поменять знак» является краткой записью такого действия, а не отдельным способом менять равенство произвольно. После каждого шага получаем равносильную запись, у которой тот же корень.
Найденное число проверяют по первоначальному условию, а не только по последней строке вычислений. Подставь его и проверь, что числа прочитанных и оставшихся страниц действительно составляют всю книгу и соответствуют данным задачи. Число страниц должно быть целым и положительным; дробное или отрицательное значение обычно указывает на ошибку в модели либо счёте. В ответе напиши, что именно найдено, и укажи единицу измерения: страниц.
Таблица помогает не смешивать вопрос задачи, известные данные и запись связи между ними. Заполни её слева направо: сначала назови величину, затем найди соответствующие слова условия и только после этого запиши математически. В последней строке укажи результат проверки и ответ.
| Элемент задачи | Вопрос к условию | Математическая запись |
|---|---|---|
| Общее количество страниц | Сколько страниц во всей книге? | x |
| Известное количество прочитанных страниц | Сколько страниц или какая часть уже прочитана? | Например, 18 или x/3 + 24 |
| Неизвестное количество страниц | Сколько страниц осталось или сколько нужно найти? | Например, 12 или 60 |
| Связь между прочитанными и оставшимися страницами | Как части вместе образуют целое? | Прочитанное + оставшееся = x |
| Уравнение | Как записать все данные одним равенством? | Например, x − 18 = 12 |
| Проверка и ответ | Подходят ли найденные страницы к условию? | Подстановка; ответ в страницах |
Условие. В книге 18 страниц уже прочитаны, а 12 страниц осталось. Сколько страниц в книге? Искомое здесь — целое число страниц, а известны две его части. Значит, можно связать их вычитанием или сложением.
Ответ: 30 страниц. Можно проверить и сложением: 18 прочитанных страниц и 12 оставшихся дают 30 страниц всего. Такой способ проверки напрямую использует смысл задачи.
Условие. Ученик прочитал треть книги и ещё 24 страницы. После этого осталось 60 страниц. Сколько страниц в книге? Доля книги неизвестна в числах, но её можно записать через x, если x обозначает целое количество страниц.
Ответ: 126 страниц. Проверка показывает, что и доля, и дополнительные прочитанные страницы, и остаток соответствуют условию. Поэтому найденный корень подходит не только уравнению, но и задаче.
Условие. В первый день прочитали четверть книги, во второй — 18 страниц, после чего осталось 42 страницы. Найти число страниц в книге. Здесь целое состоит из трёх частей: четверти, прочитанной во второй день, и оставшегося текста.
Ответ: 80 страниц. Проверка учитывает каждую часть условия, а не только остаток. Поэтому она подтверждает, что уравнение составлено верно и найденное значение подходит.
Можно обозначить через x остаток, а затем записать формулу, будто x — общее число страниц. Так происходит, если не уточнить значение буквы перед составлением уравнения. Подпиши величину словами и проверь, что каждое выражение действительно описывает выбранную величину; если x — остаток, целое и прочитанное нужно выразить через него отдельно.
Другая ошибка — записать отдельные числа или неравенство вместо равенства, хотя части образуют целое. Иногда ученик замечает числа, но не устанавливает, как они связаны. Проверь смысл словами: «прочитанное плюс оставшееся равно всей книге»; если эта фраза верна, в модели должно быть равенство.
При преобразовании уравнения слагаемое могут перенести без смены знака или выполнить действие только с одной частью. Причина часто в том, что правило переноса запомнили как формальный приём и забыли про сохранение равенства. Для самопроверки распиши действие над обеими частями, например вычти одно и то же число слева и справа, а затем подставь найденное значение в исходную запись.
Наконец, можно записать только числовой результат, не проверив его и не указав единицу измерения. Тогда легко пропустить вычислительную ошибку или оставить непонятным, что именно найдено. Подставь число в условие и запиши ответ словами: например, «30 страниц»; число страниц должно быть целым и положительным.
Для решения таких задач нужны действия с натуральными и дробными числами, свойства равенств и умение обозначать неизвестное буквой. Поэтому прежде чем составлять уравнение, полезно уметь находить долю числа и выполнять одинаковые действия с обеими частями равенства. Тот же приём используется в задачах на движение, покупки, работу и распределение величин: данные переводят в математическую модель и связывают уравнением. Позже составление моделей станет основой решения линейных уравнений.
Что лучше обозначить буквой: число всех страниц или количество оставшихся страниц?
Обычно удобнее обозначить через x число всех страниц: тогда доли книги можно записать как x/3 или x/4. Если неизвестным проще сделать остаток, это тоже допустимо, но нужно выразить через него остальные величины и составить соответствующее условию уравнение.
Как понять, какое равенство составить по условию задачи?
Найди целое количество и его части: например, прочитанные страницы и оставшиеся. Затем запиши, как эти величины связаны; если части вместе составляют всю книгу, используй равенство «сумма частей = целое».
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
Перенос — это короткая запись одинакового действия с обеими частями уравнения. Чтобы убрать слагаемое из одной части, вычитают его из обеих частей, поэтому в другой части оно появляется с противоположным знаком.
Можно ли решить задачу без составления уравнения?
Иногда можно рассуждать устно или выполнить вычисления по действиям. Но уравнение особенно удобно, когда неизвестное встречается в нескольких частях условия: оно собирает связь между ними в одной записи.
Зачем проверять найденное число страниц после решения?
Решение может содержать вычислительную ошибку или уравнение может быть составлено неверно. Подставь результат в исходное условие и проверь, что прочитанные и оставшиеся страницы дают общее число, а все данные задачи выполняются.
Сколько страниц в книге?
