"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа помогают считать, измерять величины и записывать результаты вычислений. Для разных задач нужны разные числовые множества: натуральных чисел недостаточно, чтобы выразить отрицательный результат вычитания, а целых — чтобы записать частное не нацело. Рациональные числа расширяют возможности записи, а вместе с иррациональными образуют действительные. Зная, к каким множествам относятся числа, как их сравнивать и в каком порядке выполнять действия, легче решать выражения, уравнения и задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. В принятом здесь обозначении ноль не входит в множество натуральных чисел: N = {1, 2, 3, …}. Такие числа нужны для счёта и нумерации.
Целые числа — натуральные числа, числа, противоположные им, и ноль; множество обозначают Z: Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}. Оно позволяет записывать результаты вычитания, которые меньше нуля, например 3 − 5 = −2. Знак числа показывает, с какой стороны от нуля оно находится.
Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 2/7 и −3, поскольку −3 = −3/1, являются рациональными. Это определение помогает понять, какие дроби и десятичные записи относятся к одному множеству.
Действительные числа — это рациональные и иррациональные числа вместе. Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, а каждому её положению — координата. Поэтому действительные числа позволяют описывать и сравнивать любые точки прямой, в том числе задаваемые, например, числом √2.
Числовые множества расширяют, когда прежних чисел не хватает для решения задачи. На натуральных числах нельзя выполнить, например, 3 − 5, поэтому вводят отрицательные числа и ноль, получая целые. Но даже среди целых нельзя записать результат 1 : 2, и для таких частных нужны рациональные числа.
Рациональных чисел тоже недостаточно, чтобы записать некоторые величины точно: например, длина диагонали квадрата со стороной 1 равна √2, а это число нельзя представить дробью целых чисел. Так появляются иррациональные числа. Рациональные и иррациональные вместе составляют действительные числа, которыми можно задать координату любой точки числовой прямой.
Множества вложены одно в другое: каждое натуральное число является целым, каждое целое — рациональным, а каждое рациональное — действительным. Причина проста: запись натурального числа подходит для целого, целое можно записать дробью со знаменателем 1, а рациональные числа входят в более широкое множество действительных. Поэтому число может принадлежать сразу нескольким множествам.
Сложение объединяет величины, вычитание помогает найти разность, умножение заменяет повторное сложение, а деление распределяет величину на равные части или помогает найти неизвестный множитель. Деление на ноль не определено: не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы ненулевое делимое, а при нулевом делимом частное не единственно. В действительных числах квадратный корень извлекают только из неотрицательного числа: квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Сравнивать действительные числа удобно по числовой прямой: чем правее расположена точка, тем больше её координата. Это следует из направления возрастания чисел слева направо, принятого на прямой. Поэтому любое отрицательное число меньше нуля и любого положительного числа, а из двух отрицательных больше то, которое ближе к нулю.
Чтобы вычислить выражение, сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо, если скобки не задают иной порядок. Скобки нужны, чтобы объединить часть выражения и изменить очередность: например, 2·(3 + 4) означает, что сначала складывают 3 и 4, а затем умножают результат на 2.
| Характеристика | Натуральные числа | Целые числа | Рациональные числа | Действительные числа |
|---|---|---|---|---|
| Какие числа входят в множество | Числа для счёта | Натуральные, противоположные им и ноль | Числа вида m/n, где n ≠ 0 | Рациональные и иррациональные |
| Примеры | 1, 5, 12 | −3, 0, 5 | 2/7, −3, 0,25 | −3, 2/7, √2 |
| Есть ли в множестве ноль и отрицательные числа | Ни нуля, ни отрицательных | Есть и ноль, и отрицательные | Есть и ноль, и отрицательные | Есть и ноль, и отрицательные |
| Можно ли представить число в виде дроби m/n | Да, n = 1 | Да, n = 1 | Да, по определению | Не всегда: √2 — пример числа, которое нельзя так представить |
| Связь с числовой прямой | Положительные целые точки | Целые точки, включая ноль | Координаты рациональных точек | Координаты всех точек прямой |
Используй таблицу, чтобы сравнить множества и вспомнить, какие числа в них входят. Если число можно представить дробью m/n с ненулевым знаменателем, оно рациональное, но не обязательно целое. При проверке принадлежности учитывай, что число может входить сразу в несколько вложенных множеств.
Задача 1. Расположите числа 0, 5, −3 и 2/7 по возрастанию и укажите, к каким числовым множествам относится каждое из них. Сначала сравним числа: отрицательное находится левее нуля, а положительные — правее. Среди положительных чисел 2/7 меньше 5, поскольку 2/7 меньше 1.
Ответ: −3, 0, 2/7, 5. Принадлежность каждого числа множествам указана в шаге 3; для первых двух чисел она приведена в шаге 2.
Задача 2. Вычислите 18 − 2 · (3 + 4) и объясните порядок действий. Здесь скобки меняют очередность: сначала нужно получить значение суммы внутри них. Затем выполняется умножение, и только после этого — вычитание.
Ответ: 4. Если бы выполнить вычитание раньше умножения, получилось бы другое значение, потому что был бы нарушен порядок действий.
Задача 3. Вычислите (−3/4 + 5/6) : (−1/2) и представьте ответ в виде несократимой дроби. Вначале найдём сумму в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Затем деление заменим умножением на обратную дробь и проверим знак результата.
Ответ: −1/6.
Ошибка — считать натуральными любые числа, в том числе −3 или 2/7. Так происходит, если ориентироваться только на то, что число записано цифрами, а не на его смысл и вид. Проверь себя: натуральные числа используют для счёта, а отрицательные и дробные числа к ним не относятся.
Десятичная запись сама по себе не означает, что число иррациональное: например, 0,25 = 1/4 — рациональное число. Эту ошибку допускают, когда не проверяют, можно ли преобразовать запись в дробь. Конечная десятичная дробь рациональна, как и бесконечная периодическая; проверь возможность представить число в виде m/n.
Если сложить раньше, чем умножить, значение выражения может измениться. Часто правило забывают, когда вычисляют запись слева направо, не учитывая приоритет действий и скобки. Проверь себя: сначала выдели скобки, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание, соблюдая порядок слева направо внутри одного уровня.
Делить на ноль нельзя, а при сокращении дроби нельзя делить числитель и знаменатель на ноль. Ошибка возникает, если применить правило деления или сокращения, не проверив условие для делителя. Перед вычислением убедись, что делитель и число, на которое сокращаешь, не равны нулю.
Для вычислений с числами нужны таблица умножения и правила действий с натуральными, целыми числами и обыкновенными дробями. Эти знания помогают выполнять действия над элементами разных числовых множеств и проверять результат. Без них трудно уверенно работать с выражениями и сравнивать числа.
Числовые множества и числовая прямая пригодятся при решении уравнений и неравенств, а правила порядка действий — при вычислении значений выражений. Позже понятие действительного числа будет использоваться при изучении корней, координат и функций. Поэтому важно не только считать, но и понимать, к какому множеству относится результат.
Входит ли ноль в множество натуральных чисел?
В принятом здесь обозначении натуральные числа — это числа, которыми считают предметы: N = {1, 2, 3, …}, поэтому ноль в это множество не входит. В некоторых учебниках и разделах математики используют соглашение, при котором ноль включают в натуральные числа; ориентируйся на принятое обозначение.
Чем рациональное число отличается от иррационального?
Рациональное число можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые, а n ≠ 0. Иррациональное число так представить нельзя: например, √2. У рациональных чисел десятичная запись конечная или периодическая, а у иррациональных — бесконечная и непериодическая.
Почему целое число можно считать рациональным?
Любое целое число a можно записать как дробь a/1. Например, −3 = −3/1, а знаменатель 1 не равен нулю. Значит, каждое целое число является рациональным.
Как сравнить отрицательное число и положительную дробь?
На числовой прямой любое отрицательное число расположено левее нуля, а положительная дробь — правее. Поэтому отрицательное число всегда меньше положительной дроби, например −3 < 2/7.
В каком порядке нужно выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо. Скобки позволяют изменить обычный порядок вычислений.
Числа и вычисления
