Деление чисел

Определения и обозначения

Деление — действие, позволяющее по произведению и одному из множителей найти другой множитель. Оно обратно умножению: если b · c = a, то a : b = c при b ≠ 0. Поэтому деление помогает распределять величину поровну и находить неизвестный множитель.

Делимое — число, которое делят. В записи a : b = c оно стоит слева от знака деления и обозначает всё число или величину, которую нужно разделить. Зная делимое и делитель, можно найти, сколько получится в каждой доле или во сколько раз одно число больше другого.

Делитель — число, на которое делят. В записи a : b = c это число b, стоящее после знака деления. Делитель не может быть равен нулю: умножение любого числа на ноль даёт только ноль, поэтому восстановить ненулевое делимое невозможно.

Частное — результат деления, то есть число c в записи a : b = c. Выражение a : b — это сама запись действия, а его значение — найденное число c. Такое различие помогает не путать пример с ответом к нему.

Как это устроено

Деление связано с умножением, потому что является действием для поиска неизвестного множителя. Равенство a : b = c означает, что b · c = a, если b не равно нулю. Например, из 24 : 6 = 4 следует 6 · 4 = 24, поэтому умножение сразу служит проверкой найденного частного.

Деление на ненулевое число можно заменить умножением на обратное ему число. Обратным к b является число 1⁄b, так как b · 1⁄b = 1. Поэтому a : b = a · 1⁄b: такая замена особенно удобна, когда нужно применить известные правила умножения или работать с дробями.

При делении числа на 1 получается само число, потому что умножение на 1 его не изменяет. Если ненулевое число разделить само на себя, получится 1: b : b = 1 при b ≠ 0. В обоих случаях результат легко проверить обратным умножением.

Ноль, делённый на ненулевое число, равен нулю, поскольку b · 0 = 0 для любого b. Деление на ноль невозможно: равенство a : 0 = c потребовало бы, чтобы 0 · c было равно a, а это не выполняется для ненулевого a. Запись 0 : 0 тоже не даёт определённого единственного результата, поэтому её считают недопустимой.

Знак частного определяется знаками двух чисел. При одинаковых знаках частное положительно, а при разных — отрицательно. Это согласуется с проверкой: положительное или отрицательное частное при умножении на делитель должно дать делимое с его знаком.

Основные случаи деления чисел

Сначала определите, к какому случаю относится пример, а затем выполните вычисление. В строках о знаках сначала находят знак частного, а потом делят модули чисел. После этого результат можно проверить умножением.

Разбор задач

1. Вычислите 42 : 6 и проверьте результат умножением

Делимое равно 42, а делитель — 6. Оба числа положительные, значит, частное будет положительным. Нужно подобрать число, которое при умножении на 6 даёт 42.

1. Находим частное: 42 : 6 = 7.
2. Для проверки умножаем найденный результат на делитель: 7 · 6.
3. Получаем 7 · 6 = 42, то есть исходное делимое.

Ответ: 7. Проверка показывает, что 6 · 7 = 42, поэтому вычисление верно.

2. Вычислите −56 : 8 и 56 : (−8)

В первом примере делимое отрицательное, а делитель положительный, поэтому частное отрицательно. Во втором примере знаки также разные: положительное делимое и отрицательный делитель. В обоих случаях сначала делим модули, а затем ставим общий знак минус.

1. Вычисляем 56 : 8 = 7.
2. Получаем −56 : 8 = −7.
3. Во втором выражении 56 : (−8) = −7, так как знаки чисел разные.

Ответ: −7 и −7. Проверка: (−7) · 8 = −56, а (−7) · (−8) = 56.

3. Найдите x, если x : (−7) = 6

Здесь неизвестно делимое, а известны делитель и частное. Чтобы восстановить делимое, используем обратное действие: частное умножаем на делитель. Так как делитель отрицателен, найденное x тоже будет отрицательным.

1. Умножаем обе величины: x = 6 · (−7).
2. Выполняем умножение: x = −42.
3. Проверяем подстановкой: (−42) : (−7) = 6.

Ответ: x = −42. Проверка верна, потому что при умножении частного 6 на делитель −7 получается делимое −42.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что деление на ноль даёт ноль. Так бывает из-за смешения правил 0 : a = 0 и a : 0, но это разные случаи. Проверьте запись: если делитель равен 0, действие выполнять нельзя.

Ошибка: писать 0 : a = 0 без условия. Правило работает только при a ≠ 0, поскольку делить на ноль запрещено. Перед вычислением отдельно посмотрите на делитель.

Ошибка: неверно определять знак частного. Часто знак выбирают по одному числу или забывают скобки у отрицательного делителя. Сравните знаки обоих чисел: одинаковые дают плюс, разные — минус, а затем проверьте умножением.

Ошибка: считать a : b равным b : a. Деление не перестановочно, поэтому порядок чисел имеет значение. Для самопроверки выполните оба действия на простом примере, например 12 : 3 и 3 : 12.

Связь с другими темами

До изучения деления нужны таблица умножения и понимание смысла умножения. Также пригодятся правила действий с положительными и отрицательными числами, потому что они определяют знак частного.

Деление используется при решении уравнений и задач на пропорциональное распределение величин. По нему находят неизвестный множитель, цену одной единицы, скорость или долю общего количества.

Связь деления с умножением понадобится при работе с дробями и рациональными выражениями. Замена деления умножением на обратное число помогает преобразовывать и вычислять такие выражения.

Что запомнить

• Деление проверяют умножением.
• На ноль делить нельзя.
• Ноль на ненулевое число равен нулю.
• Число, делённое на 1, равно самому числу.
• Ненулевое число, делённое на себя, равно 1.
• Частное чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными — отрицательно.