Деление на трёхзначное число

Определения и обозначения

Трёхзначный делитель — натуральное число от 100 до 999, на которое делят другое число. В отличие от деления на однозначное или двузначное число, здесь прикидку приходится делать по трём разрядам, а найденную цифру частного особенно внимательно проверять умножением. Это помогает не ошибиться в величине произведения.

Неполное делимое — часть делимого, которую рассматривают на очередном шаге деления. Слева берут столько первых цифр делимого, чтобы получившееся число было не меньше делителя; если цифр пока недостаточно, берут следующую. По положению этой части находят разряд, с которого начинается частное.

Пробная цифра частного — предварительно выбранная цифра, которую предполагают поставить в очередной разряд частного. Её оценивают по величине неполного делимого и старшим разрядам делителя, но такая оценка может быть неточной. Поэтому цифру проверяют умножением: произведение не должно оказаться больше неполного делимого.

Остаток при делении — число, которое остаётся после вычитания произведения делителя на найденную цифру частного из неполного делимого. Он показывает, какая часть ещё не распределена на равные группы. Остаток обязательно меньше делителя, иначе можно было бы выделить ещё одну группу и увеличить цифру частного.

Как это устроено

Сначала слева направо рассматривают начальную часть делимого, пока она не станет не меньше делителя. Если взять меньше цифр, делитель в эту часть не помещается ни разу, поэтому цифру частного на этом шаге определить нельзя. Как только условие выполнено, по месту последней взятой цифры понятно, в каком разряде будет первая цифра частного: например, если начали с сотен, первая цифра относится к разряду сотен.

Чтобы подобрать цифру частного, сравнивают старшие разряды неполного делимого и делителя: это даёт удобную начальную оценку. Но делитель состоит не только из старших цифр, поэтому прикидка может предложить слишком большую или маленькую цифру. Найденное произведение обязательно сравнивают с неполным делимым: если оно больше, пробную цифру уменьшают; если не больше, её можно записать и вычесть произведение.

После вычитания получается остаток текущего шага. К нему сносят следующую цифру делимого справа, образуя новое неполное делимое, которое снова делят на тот же делитель. Такой порядок сохраняет значение числа: снесённая цифра становится цифрой единиц новой части, а остаток учитывается в более низком разряде. Действия повторяют, пока цифры делимого не закончатся.

Иногда после сноса очередной цифры новое неполное делимое всё ещё меньше делителя. Значит, в этом разряде частного делитель помещается ноль раз, и нужно записать 0, а затем снести следующую цифру. Если пропустить ноль, цифры частного сдвинутся, и получится число с другим значением. Ноль здесь обозначает пустой разряд, а не отсутствие следующего шага.

В конце деление проверяют обратным действием. При делении без остатка произведение частного и делителя должно равняться делимому: делитель × частное = делимое. Если получен остаток, к произведению делителя на частное прибавляют его; сумма должна совпасть с делимым. Проверка подтверждает вычисление целиком, а условие «остаток меньше делителя» показывает, что деление завершено правильно.

Этапы деления на трёхзначное число

Используй таблицу как маршрут: переходи к следующей строке только после проверки текущего шага. Так легче заметить, где появилась ошибка, и не пропустить цифру или ноль в частном.

Разбор задач

Вычислите 7392 : 308

1. Первые три цифры дают 739, а это число больше 308, поэтому первое неполное делимое — 739 и первая цифра частного будет в разряде десятков. Прикидываем цифру: 739 : 308 — примерно 2.
2. Проверяем умножением: 308 × 2 = 616, а 308 × 3 = 924, что больше 739. Значит, подходит 2; вычитаем 739 − 616 = 123.
3. Сносим следующую цифру 2 и получаем 1232. Подбираем цифру 4: 308 × 4 = 1232, вычитание даёт 0. Цифр делимого больше нет, поэтому частное равно 24.

Ответ: 7392 : 308 = 24. Проверка: 308 × 24 = 7392.

Вычислите 51840 : 216

1. Часть 518 больше 216, поэтому начинаем с неё; первая цифра частного будет в разряде сотен. Берём цифру 2: 216 × 2 = 432, а 216 × 3 = 648 больше 518.
2. Вычитаем 518 − 432 = 86 и сносим 4, получаем 864. Здесь 216 помещается 4 раза, потому что 216 × 4 = 864. Записываем следующую цифру частного 4, вычитаем и получаем 0.
3. Сносим последнюю цифру 0. Полученное неполное делимое 0 меньше 216, поэтому в разряде единиц частного записываем ноль. Так сохраняется верное расположение разрядов.

Ответ: 51840 : 216 = 240. Проверка: 216 × 240 = 51840.

Выполните деление с остатком: 12547 : 326

1. Берём 1254: это первые четыре цифры, поскольку 125 меньше 326. В 1254 число 326 помещается 3 раза: 326 × 3 = 978, а 326 × 4 = 1304 больше. Вычитаем: 1254 − 978 = 276.
2. Сносим 7 и получаем 2767. Подходит цифра 8, так как 326 × 8 = 2608, а 326 × 9 = 2934 больше 2767. Вычитаем 2767 − 2608 = 159.
3. Цифр для сноса больше нет, значит, частное равно 38, а остаток — 159. Проверяем, что 159 меньше 326, и выполняем общую проверку равенством.

Ответ: 12547 : 326 = 38 (ост. 159). Проверка: 326 × 38 + 159 = 12388 + 159 = 12547.

Типичные ошибки

Если выбрать первую цифру частного только по прикидке, произведение может оказаться больше неполного делимого. Так происходит потому, что старшие разряды дают лишь оценку, а не точное значение. Перед вычитанием умножь делитель на пробную цифру и сравни произведение с неполным делимым; если оно больше, уменьши цифру.

Пропуск нуля в частном сдвигает последующие цифры и меняет значение ответа. Ноль часто забывают, когда неполное делимое меньше делителя и кажется, что на этом шаге нечего записывать. Сверяй каждый шаг с разрядами делимого: если делитель не помещается, поставь в частное 0 и только потом продолжай.

Если снести следующую цифру до вычитания, новое неполное делимое составится неправильно. Причина ошибки — желание быстрее перейти к следующему шагу, не завершив текущий. Сначала найди разность между неполным делимым и произведением, затем приписывай к остатку следующую цифру; проверяй порядок действий по записи столбиком.

Остаток, который не меньше делителя, означает, что деление на этом шаге не закончено. Иногда его принимают за окончательный, не проверив, можно ли вычесть делитель ещё раз. Сравни остаток с делителем: если остаток равен ему или больше, нужно увеличить соответствующую цифру частного и пересчитать шаг.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно делить на трёхзначное число, нужно уметь делить столбиком на однозначное и двузначное число, умножать многозначные числа и выполнять вычитание. Эти действия составляют каждый шаг алгоритма: умножение проверяет цифру частного, а вычитание помогает найти остаток. Освоенный способ пригодится при делении больших чисел, решении задач на распределение поровну и проверке вычислений умножением. Связь деления и умножения позволяет убедиться, что результат не только получен, но и верен.

Что запомнить

• Первое неполное делимое должно быть не меньше делителя.
• Каждую цифру частного проверяют умножением на делитель.
• После вычитания сносят следующую цифру делимого.
• Если неполное делимое меньше делителя, в соответствующем разряде частного записывают ноль.
• При делении с остатком остаток меньше делителя.
• Деление проверяют умножением частного на делитель; при остатке к произведению прибавляют остаток.