32. Деление на трёхзначное число

Определения и обозначения

Деление на трёхзначное число — это деление, при котором делитель записан тремя цифрами. Его выполняют по разрядам частного: сначала находят цифру старшего разряда, затем переходят к следующим разрядам. Такой порядок помогает не потерять место каждой цифры в ответе. Он также делает длинное деление последовательностью небольших действий.

Неполное делимое — часть делимого, которую делят на делитель на одном шаге. Его выбирают слева направо: берут минимальное количество первых цифр, при котором получившееся число не меньше делителя. Если выбранная часть меньше делителя, делить её пока нельзя. Понятие неполного делимого помогает определить, с какого разряда начать вычисление.

Цифра частного — цифра, которую находят на очередном шаге деления. Она занимает определённый разряд: например, десятки или единицы, а не просто записывается вслед за предыдущей цифрой. Поэтому разряд выбирают по тому, сколько цифр делимого уже использовано. Это правило помогает получить частное с верным разрядным составом.

Пробная цифра частного — предварительно выбранная цифра, которую проверяют умножением на делитель. Например, можно предположить, что делитель помещается в неполном делимом четыре раза, и проверить это произведением. Если произведение слишком велико, цифру уменьшают. Пробная цифра нужна, чтобы подобрать точную цифру частного, а не полагаться на приблизительную оценку.

Как это устроено

Для первого шага берут минимальную часть делимого, которая не меньше делителя, потому что меньшую часть нельзя разделить на него даже один раз. Если первые цифры слева дают число меньше делителя, к ним присоединяют следующую цифру делимого. По длине выбранной части и её положению определяют разряд первой цифры частного: так сохраняется соответствие между разрядами делимого и частного. Например, если для первого шага понадобились четыре цифры пятизначного делимого, первая цифра частного будет стоять в разряде десятков.

Чтобы оценить цифру частного, сравнивают неполное делимое с делителем. Цифра показывает, сколько раз делитель можно взять, не превысив это число; обычно пробуют цифры от 1 до 9. После выбора нужно убедиться, что произведение делителя на цифру не больше неполного делимого. Такой подбор связывает оценку с точным вычислением и не позволяет получить завышенную цифру.

Пробную цифру проверяют умножением, потому что сравнения «на глаз» недостаточно: близкие числа могут дать неверную оценку. Умножение точно показывает, какое число получится при выбранном количестве делителей. Если произведение больше неполного делимого, вычесть его без отрицательного результата нельзя, значит, пробная цифра велика. Её уменьшают и снова проверяют произведение, пока оно не станет допустимым.

После проверки произведение вычитают из неполного делимого, а к полученному остатку сносят следующую цифру делимого. Остаток показывает, какая часть ещё не распределена; присоединённая цифра образует новое неполное делимое для следующего шага. Затем снова подбирают цифру частного и проверяют её умножением. Деление продолжают, пока все цифры делимого не будут использованы.

Иногда новое неполное делимое меньше делителя, поэтому делитель не помещается в нём ни одного раза. Тогда в соответствующем разряде частного записывают ноль и сносят следующую цифру. Если пропустить ноль, последующие цифры сдвинутся на разряд влево, и частное изменит значение. Ноль здесь не обозначает остаток: он показывает, что в данном разряде частного нет ни одной группы делителя.

Шаги деления на трёхзначное число

Пользуйся таблицей как контрольным списком: переходи к следующей строке только после проверки предыдущего действия. Если вычисления сбились, вернись к шагу, где результат перестал удовлетворять условию в последнем столбце. В конце проверь частное умножением и учти остаток, если он есть.

Разбор задач

Выполнить деление 864 : 216

В делимом три цифры, и всё число 864 не меньше делителя 216, поэтому это первое неполное делимое. Подберём одну цифру частного: число 216 примерно вмещается в 864 четыре раза. Осталось проверить выбор точным умножением и убедиться, что остатка нет.

1. Берём 864 как первое неполное делимое.
2. Пробуем цифру 4: 216 × 4 = 864. Произведение равно неполному делимому, значит, цифра подходит.
3. Вычитаем: 864 − 864 = 0. Цифры делимого закончились, поэтому частное равно 4.

Ответ: 864 : 216 = 4. Проверка: 4 × 216 = 864, значит, частное верное. Нулевой остаток показывает, что деление выполнено нацело.

Выполнить деление 7392 : 308

Первые три цифры делимого дают 739, и это число больше 308, поэтому с него можно начать. Подберём первую цифру частного, затем после вычитания снесём последнюю цифру делимого. На следующем шаге образуется новое неполное делимое, для которого цифру частного тоже нужно проверить умножением.

1. Берём 739. Пробуем цифру 2: 308 × 2 = 616, а 308 × 3 = 924, что больше 739. Значит, первая цифра частного — 2.
2. Вычитаем 739 − 616 = 123 и сносим 2. Получаем новое неполное делимое 1232.
3. Проверяем цифру 4: 308 × 4 = 1232. Произведение равно неполному делимому, поэтому следующая цифра частного — 4.
4. Вычитаем 1232 − 1232 = 0. Все цифры делимого использованы, частное равно 24.

Ответ: 7392 : 308 = 24. Проверка: 24 × 308 = 7392. Остаток равен нулю, поэтому дополнительное число к произведению прибавлять не нужно.

Выполнить деление 12564 : 402 и проверить результат умножением

Первые три цифры, 125, меньше делителя 402, поэтому для первого шага берём четыре цифры — 1256. Это означает, что первая цифра частного будет в разряде десятков. После первого вычитания снесём последнюю цифру делимого и проверим, помещается ли в новом числе делитель.

1. Берём 1256. Пробуем цифру 3: 402 × 3 = 1206, а 402 × 4 = 1608, что больше 1256. Значит, первая цифра частного — 3.
2. Вычитаем 1256 − 1206 = 50 и сносим 4. Получаем 504.
3. Пробуем цифру 1: 402 × 1 = 402, а 402 × 2 = 804, что больше 504. Записываем следующую цифру частного 1 и находим остаток: 504 − 402 = 102.
4. Цифры делимого закончились. Частное равно 31, остаток — 102; он меньше делителя 402.

Ответ: 12564 : 402 = 31, остаток 102. Проверяем: 402 × 31 + 102 = 12462 + 102 = 12564. В этом примере ноль в частном не требуется, но если бы на промежуточном шаге делитель не помещался, ноль сохранил бы нужный разряд.

Типичные ошибки

Начинают деление с части делимого, которая меньше делителя. Так может получиться число, в котором делитель не помещается, и первый разряд частного будет выбран неверно. Ошибку допускают, когда берут слишком мало цифр слева; проверь себя сравнением: первое неполное делимое должно быть не меньше делителя.

Оставляют пробную цифру, не проверив её умножением. Тогда произведение может превысить неполное делимое, и его нельзя будет правильно вычесть. Иногда цифра кажется подходящей при приблизительной оценке, но точное умножение показывает обратное. Проверяй и выбранное произведение, и произведение для цифры на единицу больше.

Забывают записать ноль в частном, когда на промежуточном шаге делитель не помещается в неполном делимом. Без нуля следующие цифры частного сдвигаются влево и обозначают уже другие разряды. Чтобы заметить ошибку, следи за местом каждой цифры и проверяй ответ умножением на делитель.

Неверно сносят следующую цифру или вычитают произведение. Из-за этого получается неправильное новое неполное делимое, а значит, меняются все последующие цифры частного. Такая ошибка часто возникает при спешке или потере цифры делимого. Перепроверь вычитание и убедись, что к остатку присоединена именно следующая цифра слева направо.

Связь с другими темами

Для письменного деления нужны навыки умножения и вычитания многозначных чисел: умножение проверяет цифру частного, а вычитание помогает получить остаток. Понимание разрядного состава числа помогает правильно выбрать место каждой цифры частного и не забыть ноль. Это деление применяют в задачах на распределение и на нахождение неизвестного множителя. Результат можно проверить обратным действием — умножением частного на делитель.

Что запомнить

• Первое неполное делимое должно быть не меньше делителя.
• Цифру частного подбирают так, чтобы произведение на делитель не превышало неполное делимое.
• Каждую цифру частного проверяют умножением.
• После вычитания к остатку сносят следующую цифру делимого.
• Ноль в частном записывают, если на соответствующем шаге делитель не помещается.
• Проверить деление можно умножением частного на делитель.