"Математика (для обучающихся с интеллектуальными нарушениями) (в 2 частях)*", Алышева Т.В., Яковлева И.М.
Деление помогает распределить предметы поровну или узнать, сколько раз одно число содержится в другом. Оно связано с умножением: чтобы найти частное, можно подобрать число, которое при умножении на делитель даёт делимое. При делении не всегда получается целое число: иногда остаётся остаток, который должен быть меньше делителя. Знание этих правил помогает решать примеры и задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление — действие, с помощью которого число разбивают на равные части или узнают, сколько раз одно число содержится в другом. Например, если 12 яблок разложить поровну в 3 корзины, деление покажет, сколько яблок попадёт в каждую. Оно также помогает узнать, сколько раз по 3 яблока можно взять из 12. Поэтому деление используют и при распределении, и при подсчёте равных групп.
Делимое — число, которое делят. В примере 12 : 3 = 4 делимое — 12: это всё количество яблок, которое нужно распределить. Определение помогает не перепутать роли чисел в записи. Делимое обычно стоит перед знаком деления.
Делитель — число, на которое делят; делитель не может быть равен нулю. В примере 12 : 3 число 3 показывает, на сколько равных частей делят яблоки или сколько яблок берут в одну группу. По делителю можно понять, как именно разделено делимое. Нулевой делитель не задаёт допустимого действия.
Частное — результат деления; при делении с остатком отдельно называют остаток. В записи 12 : 3 = 4 частное равно 4, потому что в каждой из трёх равных частей получается по четыре яблока. Если разделить 13 на 3, получится 4 и останется 1, поэтому говорят: частное 4, остаток 1. Эти названия позволяют точно записывать и проверять результат.
Смысл деления можно увидеть, распределив предметы поровну: каждому получателю должно достаться одинаковое количество. Например, 12 фишек для 3 игроков можно раздавать по одной каждому, пока фишки не закончатся; каждый получит по 4. Другой способ — выяснить, сколько раз по 3 содержится в 12. Оба способа приводят к одному результату, потому что описывают одно и то же деление. Связь с умножением объясняется обратной проверкой: если a : b = c, то b · c = a.
В записи a : b = c важно определить роль каждого числа, а не просто читать запись слева направо. Первое число — делимое, то есть то, что разделяют; второе — делитель, задающий размер или число равных частей. После знака равенства записывают частное — результат действия. Знак «:» показывает, что нужно выполнить деление. Такое обозначение помогает и решить пример, и объяснить, что именно означает ответ.
Чтобы найти частное, подбирают число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Например, для 24 : 6 ищут произведение с множителем 6, равное 24: это 6 · 4. Поэтому частное равно 4. Таблица умножения ускоряет подбор, так как в ней уже собраны произведения чисел. Если подходящего целого произведения нет, деление может быть с остатком.
При делении с остатком делимое представляют как произведение делителя и частного плюс остаток: a = b · c + r. Остаток показывает, сколько единиц не вошло в полные группы. Он обязательно меньше делителя: иначе из оставшихся единиц можно было бы собрать ещё одну группу, а значит, частное выбрано не полностью. Например, при делении 37 на 5 семь полных групп дают 35, и остаются 2 единицы.
Делить на ноль нельзя. Если бы ненулевое число разделили на ноль и получили частное, то при проверке нужно было бы умножить это частное на ноль и получить исходное число. Но любое число, умноженное на ноль, даёт ноль, поэтому такой проверки не получится. Отдельный случай — ноль, разделённый на ненулевое число: результат равен нулю, поскольку делитель, умноженный на ноль, даёт делимое 0. Запись 0 : 0 также не имеет обычного определённого частного.
| Случай или элемент | Что означает | Запись | Пример |
|---|---|---|---|
| Делимое | Число, которое делят. | a : b = c; делимое — a | В 24 : 6 = 4 делимое — 24. |
| Делитель | Число, на которое делят; оно не равно нулю. | a : b = c; делитель — b | В 24 : 6 = 4 делитель — 6. |
| Частное | Результат деления. | a : b = c; частное — c | В 24 : 6 = 4 частное — 4. |
| Деление без остатка | Делимое делится нацело, остатка нет. | a = b · c | 24 : 6 = 4. |
| Деление с остатком | После выделения полных групп остаются единицы. | a = b · c + r, где r < b | 37 : 5 = 7 (ост. 2). |
| Деление нуля на ненулевое число | Ноль, разделённый на ненулевое число, равен нулю. | 0 : b = 0, если b ≠ 0 | 0 : 6 = 0. |
| Деление на ноль | Такое действие не определено. | a : 0 — делить нельзя | 8 : 0 не имеет результата. |
Сначала найди в таблице нужный элемент или случай, а затем прочитай его значение и запись. Пример в последнем столбце показывает, как правило выглядит в вычислении. Для деления с остатком отдельно проверь, что остаток меньше делителя.
Нужно разделить 24 на 6, то есть найти, сколько раз число 6 содержится в 24. Подберём произведение с множителем 6, которое равно делимому. Вспомним таблицу умножения: 6 · 4 = 24. Значит, подходящее частное — 4.
Ответ: 24 : 6 = 4. Проверка показала, что делитель, умноженный на частное, равен делимому. Поэтому остатка здесь нет.
При письменном делении рассматривают разряды делимого по порядку и записывают цифры частного над соответствующими разрядами. Число 84 состоит из 8 десятков и 4 единиц. Сначала делят десятки, а затем учитывают оставшиеся единицы. Получившееся частное проверяют умножением на 4.
Проверка: 21 · 4 = 84. Значит, деление выполнено правильно и остатка нет. Ответ: 84 : 4 = 21.
Нужно раздать конфеты равными группами пяти детям. Подберём наибольшее число конфет для каждого так, чтобы всем детям досталось поровну и конфет хватило. Семь конфет каждому потребуют 5 · 7 = 35 конфет, и от 37 останутся ещё 2. Восьми каждому уже не хватит, потому что 5 · 8 = 40.
Ответ: каждый ребёнок получит по 7 конфет, останутся 2 конфеты. Остаток не получится распределить так, чтобы всем детям досталось поровну по целой конфете. Равенство проверки подтверждает, что учтены и розданные конфеты, и оставшиеся.
Можно перепутать делимое и делитель, если воспринимать запись только как последовательность чисел. Тогда ученик неверно объясняет, что именно делят и на что делят. Смотри на роли: первое число до знака «:» — делимое, второе — делитель. Например, в 18 : 3 = 6 делят 18 на 3, а не наоборот.
Иногда вместо деления числа складывают или вычитают, потому что не связывают поиск частного с умножением. Но частное показывает, какой множитель нужен к делителю, чтобы получить делимое. Проверь пример обратным действием: для 20 : 5 найденное частное должно при умножении на 5 дать 20. Если это не так, подбери результат заново по таблице умножения.
При делении с остатком могут записать остаток, равный делителю или больший него. Так происходит, когда останавливаются, не проверив, можно ли образовать ещё одну полную группу. Умножь делитель на частное и сравни с делимым: если остаток не меньше делителя, частное нужно увеличить. Правильный остаток всегда меньше делителя.
Нельзя выполнять деление на ноль или считать, что 0 : 0 имеет обычный результат. Иногда ноль путают с допустимым делителем, потому что его можно разделить на любое ненулевое число. Проверь предполагаемый ответ умножением: произведение частного на ноль всегда равно нулю и не может дать ненулевое делимое. Поэтому делитель 0 недопустим, в том числе в записи 0 : 0.
Для деления полезно знать таблицу умножения: по ней подбирают частное и проверяют результат. Также помогают состав числа и разрядная запись, особенно при письменном делении многозначных чисел. Понимание обратных действий сложения и умножения помогает выполнять проверки и разбираться в остатке. Эти знания делают вычисления более осмысленными, а не просто набором шагов.
Деление встречается в текстовых задачах на равные части, например при распределении предметов между несколькими людьми. С его помощью также находят цену одного предмета по общей стоимости или количество предметов по их цене. Позже деление понадобится при изучении дробей и отношений. Поэтому умение делить связывает обычные вычисления с разными практическими задачами.
Как понять, какое число является делимым, а какое делителем?
В записи a : b = c первым стоит делимое — число, которое делят. Второе число, b, — делитель: на него делят первое.
Как найти частное, если я не помню таблицу умножения?
Можно подобрать частное, вспоминая ближайшие произведения с делителем, или посчитать равные группы. Например, для 24 : 6 считай шестёрками: 6, 12, 18, 24 — получилось четыре группы.
Почему на ноль делить нельзя?
Деление проверяют обратным умножением. Не существует числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое, поэтому такое деление не имеет результата.
Может ли остаток быть больше делителя?
Нет, остаток всегда меньше делителя. Если остаток равен делителю или больше него, значит, можно выделить ещё одну полную группу и деление выполнено не до конца.
Как проверить, правильно ли выполнено деление?
При делении без остатка умножь частное на делитель: должно получиться делимое. При делении с остатком умножь делитель на частное и прибавь остаток; сумма должна равняться делимому.
Деление чисел
