Умножение и деление круглого числа на 10, на 100, на 1000

Определения и обозначения

Круглое число — натуральное число, которое оканчивается одним или несколькими нулями: например, 40 или 7200. Такое число делится на 10 без остатка, потому что в его записи последняя цифра — 0. Это свойство позволяет выполнять некоторые вычисления, не деля и не умножая столбиком.

Разрядная единица — одно из чисел 10, 100 и 1000, соответствующее десятку, сотне и тысяче. Число нулей в её записи показывает, на сколько разрядов меняется положение цифр при умножении или делении. Понимание разрядных единиц помогает выбрать нужное количество нулей.

Умножение на разрядную единицу — увеличение числа в 10, 100 или 1000 раз. Например, умножение на 100 означает взять число сто раз. Это понятие помогает оценить, насколько большим должен стать результат.

Деление на разрядную единицу — уменьшение числа в 10, 100 или 1000 раз. При делении на 10 число становится в десять раз меньше, а при делении на 100 — в сто раз меньше. Это определение помогает понять, почему результат деления должен быть меньше исходного числа.

Как это устроено

При умножении круглого числа на 10, 100 или 1000 к его записи приписывают соответственно один, два или три нуля. Причина в том, что каждая цифра переходит в разряд, который в 10, 100 или 1000 раз крупнее. Например, 30 — это 3 десятка, а после умножения на 10 получается 30 десятков, то есть 300. При умножении на 100 или 1000 число сдвигается ещё дальше по разрядам.

Разрядный состав показывает число как сумму разрядных единиц. Например, 5600 — это 56 сотен, а умножение на 10 превращает каждую из этих сотен в тысячу. Поэтому нули в записи результата не появляются случайно: они обозначают новые разряды, в которых нет отдельных десятков, сотен или единиц. Такой взгляд помогает объяснить правило, а не просто запомнить его.

При делении круглого числа на 10, 100 или 1000 справа убирают соответственно один, два или три нуля. Деление возвращает цифры в более низкие разряды: например, в 5600 содержится 56 сотен, поэтому 5600 : 100 = 56. Удалить можно только столько нулей, сколько содержит делитель, и только если исходное число делится на него без остатка. Если нужных нулей нет, это короткое правило применять нельзя.

Умножение и деление на одну и ту же разрядную единицу взаимно обратны. Если круглое число сначала разделить на 100, а затем результат умножить на 100, исходное число восстановится. Это следует из смысла действий: умножение увеличивает число во столько же раз, во сколько деление его уменьшает. Поэтому проверять деление удобно умножением частного на делитель.

Количество приписываемых или убираемых нулей определяется записью разрядной единицы: в 10 один ноль, в 100 два, в 1000 три. Каждый ноль соответствует переходу на один разряд. Если не следить за их количеством, результат получится в 10 или 100 раз больше либо меньше нужного. Поэтому сначала назови число нулей в множителе или делителе, а затем выполни действие.

Умножение и деление круглого числа на 10, 100 и 1000

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определи, умножаешь ты или делишь, а затем посмотри на разрядную единицу. Число нулей в ней указывает, сколько нулей нужно приписать или убрать. После вычисления оцени результат: при умножении он должен увеличиться, при делении — уменьшиться.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: 30 · 10. Здесь оба числа круглые, а множитель 10 содержит один ноль. Значит, к записи числа 30 нужно приписать один ноль. Проверка смысла действия: число должно стать в десять раз больше.

1. Определяем разрядную единицу: это 10.
2. Считаем нули в множителе: один.
3. Приписываем один ноль к числу 30 и получаем 300.

Ответ: 300.

Задача 2. Вычислить: 5600 : 100. Делитель 100 содержит два нуля, значит, при точном делении круглого числа убираем справа два нуля. В числе 5600 их достаточно, поэтому результат записывается без остатка. Проверим, что результат действительно стал меньше.

1. Находим число нулей в делителе: в 100 их два.
2. Убираем два нуля в конце записи числа 5600.
3. Получаем 56 и проверяем: 56 · 100 = 5600.

Ответ: 56.

Задача 3. Вычислить значение выражения: 240 · 1000 : 10. Действия выполняем по порядку слева направо, потому что умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Сначала умножим 240 на 1000, затем разделим полученный результат на 10. Контроль нулей поможет не ошибиться при каждом шаге.

1. Умножаем 240 на 1000: в множителе три нуля, поэтому получаем 240 000.
2. Делим 240 000 на 10: убираем один ноль и получаем 24 000.
3. Проверяем направление изменения: умножение на 1000 увеличило число, а деление на 10 уменьшило его в десять раз.

Ответ: 24 000.

Типичные ошибки

• При умножении на 100 или 1000 иногда приписывают один ноль, потому что смотрят только на действие умножения и забывают проверить множитель. Сосчитай нули в разрядной единице: в 100 их два, в 1000 — три. Проверь результат оценкой: он должен быть больше исходного соответственно в сто или тысячу раз.

• При делении могут убрать не все нули или убрать лишние, смешав число нулей в делителе. Например, при делении на 100 нужно убрать два нуля, а не один или три. Пересчитай нули в делителе и проверь ответ умножением на него.

• Правило удаления нулей применяют к любому числу, хотя оно относится к круглым числам, делящимся на разрядную единицу без остатка. Ошибка возникает, если считать, что достаточно просто стереть цифры справа. Перед вычислением проверь делимость; если нулей не хватает, выполни деление обычным способом.

• При умножении и делении иногда меняют направление изменения числа местами. Это происходит, когда правило запоминают механически и не оценивают результат. Умножение на число больше единицы увеличивает исходное число, а деление на него уменьшает; сравни ответ с исходным числом.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о записи чисел по разрядам, составе числа и таблице умножения. Понимание разрядов объясняет, почему нули меняют запись результата, а не являются условной припиской. Правило пригождается для устного счёта и перевода единиц измерения, где часто встречаются десятичные переходы. Оно также помогает работать с многозначными числами и оценивать, правдоподобен ли ответ.

Что запомнить

• При умножении на 10, 100 или 1000 к круглому числу приписывают один, два или три нуля.
• При делении на 10, 100 или 1000 справа убирают один, два или три нуля.
• Количество нулей определяется разрядной единицей.
• Умножение увеличивает число, а деление уменьшает его.
• Умножение и деление на одну и ту же разрядную единицу — взаимно обратные действия.
• Правило удобно применять к круглым числам.