Величины

Определения и обозначения

Величина — свойство предмета или явления, которое можно измерить или сравнить с таким же свойством другого предмета. Например, у стола есть длина, у яблока — масса, а у поездки — продолжительность. Это понятие нужно, чтобы описывать предметы не только словами «длинный» или «тяжёлый», но и точными значениями.

Значение величины — запись, состоящая из числового значения и единицы измерения. В записи 7 см число 7 показывает, сколько сантиметров содержится в измеряемой длине, а см означает сантиметр. Единица нужна, чтобы было понятно, с какой мерой сравнивали величину: запись «длина равна 7» без единицы неполна.

Единица измерения — величина, принятую за меру при измерении других величин того же рода. Длину можно выражать в миллиметрах, сантиметрах, метрах или километрах, а время — в секундах, минутах или часах. Единицы позволяют сравнивать измерения и переводить их в удобную для задачи форму.

Как это устроено

Измерить величину — значит сравнить её с выбранной единицей и определить, сколько раз эта единица укладывается в измеряемом объекте. Если длина ленты равна 4 м, это означает, что она в четыре раза длиннее единичного отрезка длиной 1 м. Число измерения зависит от выбранной единицы: та же лента имеет длину 400 см, потому что сантиметр в сто раз меньше метра. Поэтому числа, полученные при измерении, нельзя правильно сравнить, пока не учтены единицы.

Единицы одной величины связаны соотношениями. Например, 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м, 1 кг = 1000 г, а 1 ч = 60 мин. При переходе от крупной единицы к мелкой число увеличивается: метры умножают на 100, чтобы получить сантиметры. При переходе от мелкой единицы к крупной число уменьшается: сантиметры делят на 100, чтобы получить метры. Направление перевода полезно проверять по смыслу: в метрах числовое значение той же длины должно быть меньше, чем в сантиметрах.

Перед сложением и вычитанием величины обычно переводят в одинаковые единицы, потому что складывать нужно одинаковые меры. Например, в выражении 2 м + 30 см сначала можно заменить 2 м на 200 см, а затем получить 230 см. При умножении величины на число единица сохраняется: если три одинаковых отрезка имеют длину по 4 см, их общая длина равна 12 см. Результат проверяют по единице и по смыслу: длина не может получиться в килограммах, а сумма двух длин не должна быть короче каждого слагаемого.

Основные величины и единицы измерения

Пользуйся таблицей, чтобы выбрать подходящие единицы и вспомнить соотношение между ними. Перед вычислениями переведи значения к одной единице, если они записаны по-разному. Для площади учитывай, что единицы квадратные: 1 м² — это квадрат со стороной 1 м, то есть 10 000 квадратов со стороной 1 см.

Разбор задач

Задача. Длина дорожки равна 2 м 40 см, а рядом положили ещё один отрезок длиной 85 см. Найди общую длину в сантиметрах и метрах. Сначала нужно привести обе длины к одной единице, чтобы сложить именно сантиметры с сантиметрами. Затем результат удобно выразить в метрах и сантиметрах, разделив его на полные сотни сантиметров.

1. Переведём 2 м в сантиметры: 2 × 100 = 200 см. Значит, длина дорожки составляет 200 см + 40 см = 240 см. Здесь использовано соотношение 1 м = 100 см.
2. Сложим длины отрезков: 240 см + 85 см = 325 см. Складываем именно сантиметры, поэтому единица измерения остаётся сантиметром. Получившееся число больше 240, что соответствует добавлению нового отрезка.
3. Переведём 325 см в метры и сантиметры. В 325 сантиметрах содержатся три полных метра, потому что 300 см = 3 м; остаётся 25 см. Поэтому 325 см = 3 м 25 см.

Ответ: общая длина равна 325 см, или 3 м 25 см. Проверить перевод можно обратным действием: 3 м 25 см = 300 см + 25 см = 325 см. Если записать результат только как 3 м, потеряются оставшиеся 25 см, поэтому их обязательно указывают.

Типичные ошибки

• Складывают числа, не приведя единицы к общему виду: например, пишут 2 м + 30 см = 32 м. Так происходит, когда единицы принимают за подписи и забывают, что 2 м — это 200 см. Для проверки переведи всё в сантиметры: 200 см + 30 см = 230 см, то есть 2 м 30 см.
• При переводе путают направление изменения числа. Например, считают, что 3 м меньше 3 см, потому что число 3 одинаковое. Причина в том, что сравнивают только числа, а не сами единицы. Проверь смысл: метров в той же длине должно быть меньше, чем сантиметров, поэтому 3 м = 300 см.
• Записывают ответ без единицы измерения или указывают неподходящую единицу. Это случается, когда при вычислениях следят только за числами. Сверься с условием и назови, что измеряется: длина выражается в единицах длины, а масса — в единицах массы. Прочитай ответ целиком и проверь, отвечает ли он на вопрос задачи.

Связь с другими темами

Величины встречаются в задачах на периметр и площадь: периметр выражает длину границы, а площадь — размер поверхности, поэтому у них разные единицы измерения. В задачах на движение связаны путь, время и скорость: скорость показывает, какой путь проходит объект за единицу времени. Дроби и десятичные числа помогают записывать части единиц, например ½ м = 50 см. Умение переводить единицы также нужно при сравнении чисел с именованными единицами и при проверке ответа по смыслу.

Что запомнить

• Значение величины включает число и единицу измерения.
• Одна и та же величина может иметь разные числовые значения в разных единицах.
• При переводе к меньшей единице число увеличивается, а к большей — уменьшается.
• Перед сложением и вычитанием приводи значения к одинаковым единицам.
• В ответе обязательно указывай подходящую единицу и проверяй результат по смыслу.