"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Величина описывает свойство предмета или явления, которое можно измерить: длину, массу, время, площадь или объём. Чтобы сравнивать такие свойства точно, используют единицы измерения. Результат измерения состоит из числа и единицы: 3 м, 5 кг, 20 с. Одна и та же величина может иметь разные числовые значения в разных единицах, поэтому при сравнении и вычислениях единицы обычно приводят к одинаковым.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Единица измерения — условная величина, с которой сравнивают другие величины того же рода. Например, метр используют для сравнения длин, а килограмм — масс. Общие единицы нужны, чтобы результаты измерений понимали одинаково и могли сравнивать расстояния или массы, полученные разными людьми.
Измерение величины — это сравнение величины с выбранной единицей. При измерении выясняют, сколько таких единиц помещается в длине, массе или промежутке времени. Результат записывают числом и единицей измерения, например 6 м или 4 кг.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько раз единица измерения содержится в измеряемой величине. В записи 8 см числом 8 обозначено числовое значение, а см — единица. Без единицы число часто нельзя правильно понять.
Однородные величины — величины одного рода, например две длины или две массы. Их можно сравнивать, складывать и вычитать, если правильно учитывать единицы. Длина и масса неоднородны, поэтому складывать их как обычные слагаемые нельзя.
Словесное описание вроде «дорога довольно длинная» зависит от впечатления и не даёт точного результата. Измерение заменяет такое описание числом с единицей, поэтому длины можно сравнивать и использовать в расчётах. Чем меньше выбрана единица, тем больше таких единиц укладывается в измеряемой величине. Например, отрезок в 1 м содержит 100 сантиметров.
Величина связана с двумя частями записи: числовым значением и единицей. Если единицу заменить, сама длина не изменится, изменится только число: 2 м = 200 см. Значит, при переходе к более мелкой единице числовое значение увеличивается, а при переходе к более крупной — уменьшается.
Сравнивать числа напрямую можно только тогда, когда за ними стоят одинаковые единицы. Запись 5 м и 80 см нельзя оценивать по числам 5 и 80: после перевода получаем 5 м = 500 см, поэтому 5 м больше 80 см. По той же причине перед сложением и вычитанием величины приводят к одной единице.
Связь между крупными и мелкими единицами задаёт правило перевода. Если 1 м = 100 см, то 3 м = 300 см, а 450 см = 4,5 м. Время устроено иначе: час содержит 60 минут, а минута — 60 секунд, поэтому здесь нельзя применять правило «умножить или разделить на 100».
Однородные величины складывают и вычитают, предварительно согласовав единицы: 2 м + 30 см = 230 см или 2 м 30 см. Величину можно умножить или разделить на число, например 4 кг · 3 = 12 кг, а 12 м : 3 = 4 м. При делении двух однородных величин иногда получают число без единицы, например 10 м : 2 м = 5; результат вычисления всегда записывают вместе с подходящей единицей, если она сохраняется.
Таблица помогает выбрать единицу и быстро найти соотношение между крупными и мелкими единицами. Перед вычислением найдите в нужной строке исходную и требуемую единицы, затем определите, во сколько раз они отличаются.
| Величина | Основная единица | Обозначение единицы | Примеры других единиц | Связь между единицами |
|---|---|---|---|---|
| Длина | метр | м | километр, сантиметр, миллиметр | 1 км = 1000 м; 1 м = 100 см; 1 см = 10 мм |
| Площадь | квадратный метр | м² | км², дм², см² | 1 м² = 100 дм² = 10 000 см² |
| Масса | килограмм | кг | тонна, грамм, миллиграмм | 1 т = 1000 кг; 1 кг = 1000 г; 1 г = 1000 мг |
| Время | секунда | с | минута, час, сутки | 1 мин = 60 с; 1 ч = 60 мин; 1 сутки = 24 ч |
| Объём | кубический метр | м³ | литр, миллилитр, дм³, см³ | 1 м³ = 1000 дм³; 1 л = 1 дм³; 1 л = 1000 мл |
У площадей и объёмов переходы отличаются от переходов для длины: квадратная и кубическая единицы содержат соответственно квадрат или куб отношения длин. Поэтому 1 м² — это не 100 см², а 10 000 см², а 1 м³ равен 1 000 000 см³.
Нужно выразить 3 м 25 см в сантиметрах и сравнить результат с 320 см. Смешанная запись содержит метры и сантиметры, поэтому сначала переведём метры в сантиметры. После этого сравнение будет выполняться для чисел с одинаковой единицей.
Ответ: 3 м 25 см = 325 см; 3 м 25 см больше 320 см на 5 см.
Стороны прямоугольника равны 2 м 40 см и 150 см. Для формулы периметра P = 2(a + b) нужны однородные длины в одной единице. Переведём первую сторону в сантиметры, чтобы не выполнять смешанные действия.
Ответ: периметр равен 780 см, или 7 м 80 см.
Поездка туда занимает 2 ч 35 мин, а обратная дорога на 48 мин короче. Сначала найдём длительность обратной дороги, затем сложим оба промежутка времени. Удобно выполнять действия в минутах, потому что уменьшение дано в минутах.
Ответ: общая продолжительность поездки — 4 ч 22 мин.
Сравнение чисел без единиц. Ошибка: считать, что 5 м меньше 80 см, потому что 5 меньше 80. Так происходит, когда забывают о размере единицы; проверка — перевести обе величины, например в сантиметры.
Неверное направление перевода. При переходе к меньшей единице иногда делят вместо умножения. Нужно спросить себя: мелких единиц станет больше или меньше? Если больше, число умножают; например, 4 м = 400 см.
Действия в разных единицах. Запись 2 м + 30 см без пояснения промежуточного перевода может привести к ошибке. Приведите величины к одной единице и только потом сложите или вычтите их.
Ответ без единицы. Число 7 не показывает, что найдено: метры, килограммы или минуты. Проверьте последнюю строку решения: рядом с числом должна стоять единица, соответствующая вопросу задачи.
Для работы с величинами нужны натуральные числа, дроби и действия с ними, а также понимание знакомых обозначений: м, кг, ч, л. Навык перевода единиц помогает решать задачи на длину, площадь, массу, время и объём. Он используется при нахождении периметра и площади фигур, вычислении объёма и дальнейшем изучении физических величин.
Почему одной и той же длине соответствуют разные числа?
Число зависит от выбранной единицы измерения. Например, одна и та же длина равна 2 м и 200 см: сантиметр меньше метра, поэтому сантиметров получается больше.
Как понять, умножать или делить при переводе единиц?
При переходе к меньшей единице число умножают, потому что мелких единиц помещается больше. При переходе к большей единице число делят, например 300 см = 3 м.
Можно ли складывать метры и сантиметры?
Можно, потому что и метры, и сантиметры являются единицами длины. Сначала удобнее перевести их в одну единицу: 2 м 30 см + 40 см = 2 м 70 см.
Почему время переводят не так, как метры и сантиметры?
Метрическая система строится на отношениях 10, 100 и 1000, а единицы времени связаны иначе: 1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с. Поэтому при переводе времени используют именно эти соотношения.
Нужно ли указывать единицу измерения в ответе?
Да, единица обязательна: без неё число не сообщает, что именно измерено. Запись 7 без пояснения может означать 7 м, 7 кг или 7 с.
Величины
