"Математика ", Александрова Э.И.
Величина описывает измеряемое свойство предмета или явления: длину, массу, время. Чтобы задать её точно, указывают число и единицу измерения, например 3 м или 5 мин. Число показывает, сколько раз выбранная единица укладывается в величине, поэтому оно зависит от выбора единицы. Умение измерять, переводить единицы, сравнивать и складывать величины нужно в геометрии и повседневных задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое значение величины — это число, которое показывает, сколько раз выбранная единица измерения укладывается в величине. Например, в длине 3 м единица «метр» укладывается три раза, поэтому числовое значение равно 3. Само число не сообщает, какая единица выбрана. Чтобы понимать результат измерения однозначно, число записывают вместе с названием единицы.
Единица измерения — принятая мера, с которой сравнивают величину. Длину измеряют, например, в миллиметрах, сантиметрах и метрах, массу — в граммах и килограммах, время — в секундах, минутах и часах. Выбор подходящей единицы помогает удобно описать предмет или промежуток времени. Например, длину карандаша обычно выражают в сантиметрах, а расстояние между городами — в километрах.
Измерить величину — значит сравнить её с выбранной единицей и определить числовое значение. Если длина отрезка равна 5 см, это означает, что единица длины 1 см укладывается в нём пять раз. Измерение позволяет заменить непосредственное сравнение предметов точной записью. Поэтому важно указывать и найденное число, и единицу, с которой проводили сравнение.
Однородные величины выражают одно и то же свойство: например, две длины или две массы. Такие величины можно сравнивать, складывать и вычитать, предварительно учитывая их единицы. Длину отрезка можно сопоставить с длиной ленты, а массу яблок — с массой груш. Длину и массу напрямую сравнить или сложить нельзя, потому что это разные свойства.
Одного числа недостаточно, чтобы описать длину, массу или время, потому что число зависит от меры, с которой ведут сравнение. Слова «длина равна 5» ничего не говорят о размере: это могут быть 5 мм, 5 см или 5 м. Если же сказать «5 см», понятно, сколько раз сантиметр укладывается в измеряемой длине. Та же необходимость есть у массы и времени: записи «2 кг» и «2 мин» относятся к разным свойствам, хотя числовое значение у них одинаковое.
При выборе другой единицы меняется числовое значение, но не сама величина. Например, один и тот же отрезок можно выразить как 1 м или 100 см: сантиметр мельче метра, поэтому в отрезке помещается больше таких единиц. Это похоже на подсчёт одного количества разными мерами: предметов не становится больше, меняется только способ счёта. Такое понимание помогает не путать перевод записи с изменением реального размера.
Чтобы сравнить однородные величины, сначала приводят их к одинаковым единицам. Иначе можно ошибочно сравнить только числа: 2 м и 50 см не означают, что первая величина меньше, хотя 2 меньше 50. Переведём метры в сантиметры: 2 м = 200 см, а теперь сравним 200 и 50. Сравнение чисел в одной и той же единице показывает, какая величина больше и на сколько.
Складывать и вычитать можно однородные величины, потому что они описывают одно свойство и их можно объединить или сопоставить. Например, если соединить два отрезка длиной 40 см и 25 см, общая длина составит 65 см. Для удобства сначала переводят величины в одинаковые единицы, выполняют действие с числами и записывают результат в единице того же рода. Длину и массу складывать нельзя: у такого действия нет смысла, потому что метры не объединяются с килограммами в одну величину.
Перевод единиц основан на известном соотношении между ними. Например, 1 м = 100 см, значит, каждый метр содержит 100 сантиметров. При переходе от метров к сантиметрам число умножают на 100, а при переходе от сантиметров к метрам делят на 100. Перед вычислением полезно прикинуть, каким должно стать число: в более мелких единицах оно обычно увеличивается, а в более крупных — уменьшается.
| Что измеряют | Пример величины | Единицы измерения | Связь между единицами |
|---|---|---|---|
| Длину отрезка | Длина линейки — 30 см | Миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр | 1 см = 10 мм; 1 м = 100 см; 1 км = 1000 м |
| Массу предмета | Масса яблока — 150 г | Грамм, килограмм, центнер, тонна | 1 кг = 1000 г; 1 ц = 100 кг; 1 т = 1000 кг |
| Время | Урок длится 45 мин | Секунда, минута, час, сутки | 1 мин = 60 с; 1 ч = 60 мин; 1 сутки = 24 ч |
В таблице можно найти подходящие единицы и соотношения для перевода величин. Сначала определите, какое свойство измеряется, а затем выберите строку с нужной величиной. Если единицы различаются, используйте указанное соотношение, чтобы привести записи к одной единице.
Нужно заменить метры сантиметрами, не меняя длину ленты. Поскольку сантиметр в 100 раз меньше метра, в каждом метре содержится 100 сантиметров. Значит, числовое значение при переходе к сантиметрам увеличится в 100 раз.
Ответ: 300 см.
Чтобы сравнить длины, выразим обе величины в сантиметрах. Во второй записи сантиметры уже указаны, а первую нужно перевести: 2 м составляют 200 см, к ним добавляются ещё 8 см. После этого сравниваем числовые значения, относящиеся к одной единице.
Ответ: 2 м 8 см > 205 см.
Складывать длины можно, потому что обе величины описывают длину. Но сначала удобно записать их в одинаковых единицах. Выберем сантиметры: в метре 100 см, а в дециметре 10 см, поэтому вторая отпиленная часть равна 100 см + 20 см.
Ответ: суммарная длина отпиленных частей равна 195 см.
Записывают числовое значение без единицы, например «длина равна 4». Так бывает, когда сосредотачиваются только на вычислении и забывают, что число зависит от выбранной меры. Проверьте себя: сможете ли вы понять, о каких именно четырёх единицах идёт речь? Если нет, добавьте единицу измерения.
Сравнивают только числа, не переводя величины в одинаковые единицы. Например, из того, что 2 меньше 50, ошибочно заключают, что 2 м меньше 50 см. Ошибка возникает из-за того, что не учитывают размер единиц. Перед сравнением проверьте, что у обеих величин одна и та же единица, а затем сравнивайте числа.
При переводе между крупными и мелкими единицами умножают или делят не в ту сторону. Это происходит, если не представить, становится ли число единиц больше или меньше. При переходе от метров к сантиметрам число увеличивается, а от сантиметров к метрам — уменьшается. Проверка здравого смысла: 3 м должны составлять больше, а не меньше, чем 3 см.
Складывают или вычитают величины разных видов, например длину и массу. Числа при этом можно вычислить, но полученный ответ не описывает осмысленную величину. Причина — забывают проверить, что именно измеряется. Перед действием назовите свойство каждой величины: если свойства различны, напрямую складывать или вычитать их нельзя.
Для работы с величинами нужны навыки действий с натуральными числами и десятичными дробями: ими выражают числовые значения и выполняют вычисления. Измерения длины, массы и времени знакомы по повседневной жизни, поэтому понятия можно соотнести с реальными предметами и событиями. Дальше умение измерять пригодится при изучении геометрических величин, площади и объёма. Оно также помогает решать практические задачи, где нужно оценить, сравнить или объединить измеряемые свойства.
Почему нельзя записать длину просто числом?
Число показывает, сколько раз в длине укладывается выбранная единица, но не сообщает, какая именно единица выбрана. Например, запись «3» может означать 3 м, 3 см или 3 км. Поэтому результат измерения записывают вместе с единицей.
Может ли одна и та же длина иметь разные числовые значения?
Да. Например, одна и та же длина равна 1 м и 100 см. Величина не меняется, а числовое значение становится больше при выборе более мелкой единицы.
Как понять, на что умножать при переводе метров в сантиметры?
Нужно знать соотношение единиц: в одном метре 100 сантиметров. Поэтому число метров умножают на 100. Например, 3 м = 3 · 100 см = 300 см.
Можно ли складывать величины, записанные в разных единицах?
Можно, если это однородные величины, например метры и сантиметры. Сначала переведите их в одинаковые единицы, затем сложите числовые значения и укажите единицу результата.
Почему нельзя складывать длину и массу?
Длина и масса описывают разные свойства, поэтому они не являются однородными величинами. Сложение не даст осмысленного результата: нельзя получить общую величину, складывая, например, 2 м и 3 кг.
Величины
