"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Величина — это свойство предмета, которое можно измерить и выразить числом с единицей: длина, масса, время, площадь или объём. Измерение показывает, сколько выбранных единиц содержится в величине. Чтобы сравнивать и вычислять величины, их приводят к одной единице. Особенно внимательно нужно переводить квадратные и кубические единицы: коэффициент пересчёта для них возводят во вторую или третью степень.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Измерение величины — сравнение величины с принятой единицей и запись результата числом с наименованием единицы. Например, если длина равна 3 м, это означает, что в ней содержатся три метра. Измерение позволяет описать свойство предмета точно, а не только сказать, что один предмет длиннее или тяжелее другого.
Единица измерения — установленный эталон, с которым сравнивают однородные величины. Для длины используют метр, для массы — килограмм, для времени — секунду. Общие единицы нужны, чтобы результаты измерений разных людей можно было сравнивать.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько единиц измерения содержится в данной величине. В записи 7 см числом 7 обозначено числовое значение, а сантиметр — выбранная единица. При замене единицы число может измениться, хотя измеряемый предмет останется тем же.
Однородные величины — величины одного вида, которые можно сравнивать, складывать и вычитать. Например, длины 2 м и 50 см однородны, а длина и масса — нет. Это понятие помогает понять, какие действия с величинами имеют смысл.
Результат измерения состоит из числового значения и наименования единицы, потому что одно число не сообщает, что именно измеряли и какой мерой пользовались. Запись 5 может означать 5 м, 5 кг или 5 с. Единица уточняет смысл числа, поэтому запись 5 м полнее и точнее, чем просто 5.
При изменении единицы меняется числовое значение, но не сама величина, потому что меняется только способ её описания. Например, один и тот же отрезок можно записать как 2 м или 200 см. В меньших единицах таких единиц помещается больше, поэтому число увеличивается; в более крупных — меньше, поэтому число уменьшается.
Сравнивать, складывать и вычитать можно только однородные величины, поскольку у них должен быть общий смысл. Нельзя складывать 3 м и 4 кг: длина и масса описывают разные свойства. Даже однородные величины перед вычислением обычно приводят к одной единице, чтобы сравнивать именно числовые значения, а не разные записи.
Основные и более мелкие единицы связаны постоянными соотношениями: 1 м = 100 см, 1 кг = 1000 г, 1 ч = 60 мин, 1 м² = 10 000 см², 1 м³ = 1 000 000 см³. Для времени переходы не всегда десятичные, поэтому их запоминают отдельно. Зная связь между единицами, можно заменять одну запись другой и выбирать удобную единицу для вычислений.
Для квадратных единиц коэффициент пересчёта возводят во вторую степень, потому что площадь образована двумя измерениями: длиной и шириной. Так, 1 м = 100 см даёт 1 м² = 100 · 100 = 10 000 см². Для кубических единиц учитывают три измерения, поэтому 1 м³ = 100 · 100 · 100 = 1 000 000 см³.
| Величина | Основная единица | Другие единицы | Связь между единицами |
|---|---|---|---|
| Длина | метр (м) | километр, дециметр, сантиметр, миллиметр | 1 км = 1000 м; 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм |
| Масса | килограмм (кг) | тонна, центнер, грамм, миллиграмм | 1 т = 1000 кг; 1 кг = 1000 г |
| Время | секунда (с) | минута, час, сутки | 1 мин = 60 с; 1 ч = 60 мин; 1 сутки = 24 ч |
| Площадь | квадратный метр (м²) | км², дм², см², мм² | 1 м² = 100 дм² = 10 000 см² |
| Объём | кубический метр (м³) | дм³, см³, мм³, литр | 1 м³ = 1000 дм³; 1 дм³ = 1 л; 1 м³ = 1 000 000 см³ |
Сначала определите вид величины, а затем выберите строку с нужными единицами. Для вычислений найдите связь между единицами и переведите все данные в одну из них. В конце проверьте, что единица ответа соответствует величине: площадь записывают в квадратных, а объём — в кубических единицах.
Даны две длины, но они записаны в разных единицах. Сравнивать числа 2,5 и 240 напрямую нельзя, потому что метр и сантиметр имеют разный размер. Переведём одну длину в сантиметры, чтобы единицы стали одинаковыми.
Ответ: 2,5 м > 240 см. Разность равна 250 − 240 = 10 см, если требуется узнать, на сколько первая длина больше второй.
Нужно перевести площадь, поэтому простой множитель 100 использовать нельзя. Один метр содержит 100 сантиметров по каждому из двух измерений, значит, для площади коэффициент пересчёта равен 100². После этого умножим числовое значение площади на полученный коэффициент.
Ответ: 3,6 м² = 36 000 см². Квадратная единица появилась потому, что площадь измеряет две стороны поверхности.
Площадь прямоугольника находят умножением длины на ширину. В условии длина записана смешанно, а ширина уже дана в сантиметрах, поэтому удобнее всё перевести в сантиметры. Тогда результат умножения сразу будет выражен в квадратных сантиметрах.
Ответ: площадь прямоугольника равна 18 000 см². Единица квадратная, потому что умножались две длины.
Сравнение чисел без перевода единиц. Ученик видит 2,5 и 240 и решает, что 240 больше, не учитывая разные единицы. Ошибка возникает, когда числовое значение принимают за саму величину; проверка проста: сначала подчеркните единицы и приведите их к одинаковым.
Перевод м² в см² с коэффициентом 100. Так получают 360 см² вместо 36 000 см² для 3,6 м². Причина в том, что учитывают только одну сторону; нужно помнить о двух измерениях и использовать 100² = 10 000.
Сложение величин разных видов. Запись 3 м + 4 кг не имеет обычного математического смысла, потому что длина и масса описывают разные свойства. Такая ошибка появляется при механическом сложении чисел; проверьте, относятся ли слагаемые к одному виду величины.
Неполная запись результата. Запись 8 без единицы или 8 см при вычислении площади теряет часть ответа. Проверяйте не только число, но и вид найденной величины: после умножения длин должна стоять квадратная единица, а после умножения трёх длин — кубическая.
До изучения величин нужны натуральные и десятичные дроби, действия с ними и знание соотношений между единицами. Без этих навыков трудно выполнять перевод, сравнение и вычисления с измеряемыми объектами.
Величины постоянно встречаются в текстовых задачах, а также при вычислении периметра, площади и объёма. Умение выбрать единицу и привести данные к общему виду помогает правильно составить решение.
Позже эти знания понадобятся при изучении пропорций, процентов, функций и физических формул. Во всех таких темах числа связаны с конкретными величинами, единицами и зависимостями между ними.
Почему 2 м и 200 см — это одна и та же величина, хотя числа разные?
В одном метре содержится 100 сантиметров, поэтому 2 м = 2 · 100 см = 200 см. Меняется числовое значение и единица записи, но длина самого отрезка остаётся прежней.
Можно ли складывать метры и сантиметры?
Можно, если сначала привести их к одной единице. Например, 2 м + 30 см = 200 см + 30 см = 230 см, или 2,3 м.
Почему при переводе квадратных метров в квадратные сантиметры получается 10 000?
Один метр содержит 100 сантиметров по длине. В квадратном метре 100 рядов по 100 квадратных сантиметров, поэтому 1 м² = 100 · 100 = 10 000 см².
Чем числовое значение отличается от самой величины?
Числовое значение показывает, сколько выбранных единиц содержится в величине. Например, в записи 5 кг число 5 — числовое значение, а масса предмета — сама величина; при записи 5000 г число изменится, но масса останется той же.
Как понять, какую единицу измерения выбрать в ответе?
Единица должна соответствовать виду величины и быть удобной для записи результата. Длину выражают в метрах или сантиметрах, площадь — в квадратных единицах, объём — в кубических единицах, время — в секундах, минутах или часах.
Величины
