"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Величины помогают описывать измеряемые свойства предметов и явлений: длину, массу, время, площадь и объём. Чтобы узнать величину, её сравнивают с единицей измерения — например, метр показывает длину, а килограмм помогает измерить массу. Одну и ту же величину можно выразить разными числами, если выбрать разные единицы. Поэтому перед сравнением, сложением или вычитанием важно привести величины к одинаковым единицам и не забывать, к какому виду относится каждая из них.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Величина — свойство предмета или явления, которое можно измерить и выразить числом с единицей измерения. Например, у стола есть длина, у яблока — масса, а у поездки — продолжительность. Понятие величины помогает описывать такие свойства точно, а не только словами «длинный» или «тяжёлый».
Единица измерения — эталон, с которым сравнивают величину. Метр служит для измерения длины, килограмм — массы, секунда — времени; есть также единицы площади, объёма и других величин. Единицы нужны, чтобы результат измерения можно было записать и одинаково понимать.
Измерение величины — сравнение величины с выбранной единицей и определение, сколько таких единиц в ней содержится. Например, при измерении отрезка линейкой мы выясняем, сколько сантиметров укладывается вдоль него. Измерение позволяет заменить приблизительную оценку точным результатом.
Числовое значение величины — число, показывающее, во сколько раз измеряемая величина больше или меньше принятой единицы. В записи 5 м числовое значение — 5, а единица — метр. Без указания единицы число не сообщает, какую именно величину измерили.
Одну длину можно записать как 1 м или как 100 см: это не две разные длины, а один и тот же отрезок. Число меняется потому, что мы сравниваем отрезок с разными единицами. Чем меньше единица, тем больше таких единиц помещается в величине. Поэтому запись числа без единицы измерения часто недостаточна.
Кратные единицы получают укрупнением основной единицы, а дольные — её делением на равные части. Например, километр крупнее метра, а сантиметр мельче метра. При переходе к более мелкой единице числовое значение увеличивается: метров в той же длине меньше, чем сантиметров. При переходе к более крупной единице значение уменьшается, потому что крупная единица укладывается в измеряемую величину меньшее число раз.
Чтобы перевести именованное число, используют соотношение между единицами. Если 1 м = 100 см, то метры переводят в сантиметры умножением на 100, а сантиметры в метры — делением на 100. Для нескольких единиц сначала удобно выразить всё число в одной выбранной единице: 2 м 5 см = 200 см + 5 см = 205 см. Так меньше риск потерять часть величины.
Складывать и вычитать можно величины одного вида: длину с длиной, время со временем, массу с массой. Числа при этом должны относиться к одинаковым единицам, иначе, например, 3 метра и 40 сантиметров нельзя складывать как 3 + 40. Сначала переводят данные в одну единицу, выполняют действие и при необходимости переводят результат обратно. Для времени учитывают особое соотношение: 60 минут составляют час.
Абсолютное значение показывает саму величину с единицей, а сравнение отвечает, какая из двух величин больше или меньше. Сравнивать числовые значения напрямую можно только после перевода в одинаковые единицы: 2 м больше 150 см, хотя число 2 меньше числа 150. Сначала переводим 2 м в 200 см, затем сравниваем 200 и 150. Так сравнение чисел действительно отражает сравнение величин.
| Величина | Основная или часто используемая единица | Другие единицы | Связи между единицами | Примеры записи |
|---|---|---|---|---|
| Длина | Метр | Миллиметр, сантиметр, дециметр, километр | 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм; 1 км = 1000 м | 5 м 8 см |
| Масса | Килограмм | Грамм, тонна, центнер | 1 кг = 1000 г; 1 т = 1000 кг; 1 ц = 100 кг | 3 кг 250 г |
| Время | Секунда | Минута, час, сутки, неделя, год | 1 мин = 60 с; 1 ч = 60 мин; 1 сутки = 24 ч | 2 ч 15 мин |
| Площадь | Квадратный метр | Квадратный сантиметр, квадратный километр | 1 м² = 10 000 см²; 1 км² = 1 000 000 м² | 24 м² |
| Объём | Кубический метр | Кубический сантиметр, литр | 1 м³ = 1 000 000 см³; 1 л = 1000 мл; 1 л = 1 дм³ | 3 л 500 мл |
Пользуйся таблицей, чтобы выбрать подходящие единицы и найти соотношение для перевода. Сначала определи вид величины, затем проверь, в какую сторону выполняется переход: к более мелкой или более крупной единице. Для площади и объёма отдельно следи за квадратными и кубическими единицами.
Выразить 4 м 7 см в сантиметрах и сравнить результат с 390 см. Удобно перевести составное именованное число в одну, более мелкую единицу. После этого сравниваем числовые значения, потому что единицы у обеих длин одинаковые.
Ответ: 4 м 7 см = 407 см, и 407 см > 390 см. Перевод в сантиметры увеличил числовое значение, потому что сантиметр меньше метра. Сравнение корректно: обе длины записаны в сантиметрах.
Из рулона длиной 12 м 50 см отрезали 3 м 80 см. Нужно узнать длину оставшегося материала. Переведём обе длины в сантиметры, чтобы вычитать числа, относящиеся к одинаковым единицам.
Ответ: осталось 8 м 70 см материала. Проверить вычисление можно сложением: 8 м 70 см + 3 м 80 см = 12 м 50 см. Проверка возвращает исходную длину рулона.
Автобус проехал 2 ч 35 мин утром и 1 ч 50 мин вечером. Найдём общую продолжительность поездки. Сложим часы и минуты отдельно, а затем учтём, что каждые 60 минут образуют 1 час.
Ответ: поездка заняла 4 ч 25 мин. Проверяем, что минут меньше 60, а значит, запись приведена к обычному виду. Результат также больше каждой из двух частей поездки, как и должно быть при сложении.
Ошибка: складывать числа в разных единицах, например 3 м и 40 см, как 3 + 40. Так смешивают числовые значения, которые относятся к разным мерам. Перед действием переведи оба слагаемых в одну единицу и проверь, что единицы совпадают.
Ошибка: при переходе к меньшей единице делить, а к большей — умножать. Направление легко перепутать, если запоминать только действие, не представляя размер единицы. Спроси себя, сколько мелких единиц поместится в прежней: их должно стать больше; затем проверь результат обратным переводом.
Ошибка: измерять площадь в сантиметрах или объём в метрах. Сантиметр измеряет длину, а площадь и объём описывают другие свойства, поэтому нужны квадратные или кубические единицы. Проверь название величины и запись единицы: для площади используй, например, см², для объёма — см³ или литры.
Ошибка: считать 100 минут одним часом или забывать перенести лишние минуты. Для времени основание перевода равно 60, а не 10, поэтому 85 минут — это 1 час 25 минут. После вычисления проверь, что в итоговой записи минут меньше 60 и все полные часы учтены.
Для работы с величинами нужны натуральные числа, понимание разрядного состава числа и умение умножать и делить на 10, 100 и 1000. Эти действия помогают переводить единицы, а навык сравнения чисел — сопоставлять результаты измерений. Величины встречаются в текстовых задачах, при вычислении периметра, площади и объёма, а позднее помогают изучать скорость и зависимости между величинами.
Единицы связаны с Международной системой единиц, а измерение — с практикой: длину проверяют линейкой, массу — весами, время — часами, объём жидкости — мерным сосудом. Точность результата зависит от выбранного прибора и единицы. Поэтому при решении задач важно учитывать не только число, но и способ, которым величину измерили.
Почему после перевода метров в сантиметры число становится больше?
В одном метре 100 сантиметров, то есть сантиметр меньше метра. Чтобы выразить ту же длину в более мелких единицах, их потребуется больше: например, 2 м = 200 см. Сама длина при этом не меняется.
Можно ли складывать 3 м и 40 см сразу, без перевода единиц?
Записывать сумму можно, но складывать числа 3 и 40 напрямую нельзя: они относятся к разным единицам. Переведи 3 м в сантиметры: получится 300 см, а затем сложи: 300 см + 40 см = 340 см. Ответ также можно записать как 3 м 40 см.
Как понять, какую единицу измерения выбрать?
Выбирай единицу, подходящую к виду и размеру измеряемой величины: длину удобно измерять метрами или сантиметрами, массу — килограммами или граммами. Для небольшого предмета практичнее мелкая единица, для большого расстояния — крупная. В вычислениях выбирай единицу, в которую удобно перевести все данные.
Почему площадь записывают в квадратных метрах, а объём — в кубических?
Площадь показывает, сколько квадратов со стороной в выбранную единицу покрывают поверхность, поэтому её измеряют квадратными единицами, например м². Объём показывает, сколько кубиков помещается внутри тела, и его измеряют кубическими единицами, например м³. Литр — ещё одна распространённая единица объёма.
Как не перепутать перевод часов, минут и секунд?
Запомни соотношения: 1 час = 60 минут, а 1 минута = 60 секунд. При сложении времени каждые 60 минут переводят в 1 час, а каждые 60 секунд — в 1 минуту. Проверяй, что в окончательной записи минут и секунд осталось меньше 60.
Величины
