"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Величины описывают свойства предметов и явлений: длину, массу, время, площадь и другие. Чтобы сравнивать такие свойства и сообщать о них, выбирают единицу измерения — например, метр или килограмм. Результат измерения состоит из числа и названия единицы, а числовое значение зависит от её размера. Знание соотношений между единицами помогает переводить величины, сравнивать их и выполнять действия.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Единица измерения — выбранная величина того же рода, с которой сравнивают измеряемую величину. Единица задаёт масштаб, поэтому результат можно записать понятно и однозначно. Для длины используют миллиметр, сантиметр, метр и километр, для времени — секунду, минуту и час, для массы — грамм, килограмм и тонну.
Измерение величины — сравнение этой величины с единицей измерения. Чтобы провести измерение, выбирают подходящую единицу и определяют, сколько раз она укладывается в измеряемой величине. Результат записывают числом вместе с единицей, например 4 см или 2 мин.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько раз единица измерения содержится в измеряемой величине. Оно зависит не только от самой величины, но и от выбранного масштаба. Так, одна и та же длина может иметь значения 1 м и 100 см.
Однородные величины — величины одного рода, например две длины или две массы. Их можно сравнивать, потому что они описывают одно и то же свойство, и можно выражать в общей единице. Например, массу 2 кг и массу 500 г можно обе записать в граммах.
Единицы нужны, чтобы измерения разных людей можно было сопоставить. Если сказать, что расстояние равно 5, непонятно, имеются ли в виду метры, километры или шаги. Одно и то же расстояние можно описать разными числами: чем меньше выбранная единица, тем больше таких единиц поместится в расстоянии. Поэтому число всегда читают вместе с единицей.
Чтобы получить результат измерения, сначала выбирают единицу, подходящую по размеру и назначению. Затем сравнивают с ней величину: например, линейкой определяют, сколько сантиметров занимает отрезок. Если единица укладывается целое число раз, результат легко записать целым числом; в других случаях используют дробь или десятичную дробь. В любом случае число и обозначение единицы составляют одну запись результата.
Числа, стоящие перед разными единицами, нельзя сравнить напрямую: 3 м и 40 см — это не просто 3 и 40, поскольку метр и сантиметр имеют разный размер. Сначала обе величины переводят в одну единицу, а затем сравнивают числа. Например, 3 м = 300 см, поэтому 3 м больше 40 см. Такой порядок уберегает от ошибки, при которой большее число принимают за большую величину.
При переводе используют соотношение единиц. Например, 1 м = 100 см, поэтому в одном метре содержится сто сантиметров: переходя от метров к сантиметрам, числовое значение умножают на 100. В обратном направлении число делят на 100, ведь сантиметры объединяют в более крупные единицы — метры. Значит, при переходе к более мелкой единице число увеличивается, а при переходе к более крупной обычно уменьшается.
Складывать и вычитать удобно только однородные величины, записанные в одинаковых единицах. Если единицы разные, сначала переводят одну или обе величины, чтобы они совпали. Например, при сложении 1 м и 20 см можно перевести метры в сантиметры: получится 100 см + 20 см = 120 см. Единицу результата выбирают подходящую и обязательно указывают.
| Величина | Единицы измерения | Пример записи |
|---|---|---|
| Длина | мм, см, м, км | 2 м 35 см |
| Масса | г, кг, т | 4 кг 200 г |
| Время | с, мин, ч | 3 мин 15 с |
| Площадь | см², м², км² | 12 м² |
| Объём | см³, дм³, м³ | 5 дм³ |
В таблице указаны распространённые единицы для каждого рода величин; в задачах могут встречаться и другие единицы. Перед вычислениями проверьте, какую именно величину измеряют и как соотносятся выбранные единицы. Обозначения площади и объёма содержат степени: см² — квадратный сантиметр, см³ — кубический сантиметр.
Задача 1. Выразите 3 м 40 см в сантиметрах. Нужно получить одну величину в заданной единице — сантиметрах. Сначала заменим метры сантиметрами, используя соотношение 1 м = 100 см, а затем прибавим оставшиеся сантиметры.
Ответ: 340 см. Проверка: после перехода от метров к более мелким сантиметрам число стало больше, что соответствует масштабу единиц.
Задача 2. Сравните 2,5 кг и 2400 г. Сравнивать 2,5 и 2400 напрямую нельзя: килограмм крупнее грамма. Выразим обе массы в граммах, пользуясь соотношением 1 кг = 1000 г, и сравним полученные числа.
Ответ: 2,5 кг > 2400 г. Можно проверить вывод, выразив обе массы в килограммах: 2400 г = 2,4 кг, а 2,5 кг больше 2,4 кг.
Задача 3. Для прямоугольника длиной 1 м 20 см и шириной 80 см найдите периметр в сантиметрах. Периметр — сумма длин всех сторон; у прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому P = 2(a + b). Чтобы сложение было удобным и ответ получился в сантиметрах, сначала переведём длину в сантиметры.
Ответ: 400 см. Проверка: сложение выполнено для однородных величин, а единица результата совпадает с требуемой.
Сравнивать числовые значения в разных единицах. Например, число 40 может показаться больше 3, хотя 40 см меньше 3 м. Так ошибаются, когда не учитывают разный размер единиц. Для проверки переведите обе величины в одну единицу и сравните их числовые значения.
Записывать результат только числом. Запись 12 не объясняет, измерена ли длина в сантиметрах, время в секундах или масса в килограммах. Единицу иногда забывают, потому что сосредоточены на вычислениях. Проверьте, можно ли по ответу однозначно понять, какую величину получили, и допишите её обозначение.
Уменьшать число при переходе к более мелкой единице. Например, при переводе метров в сантиметры число должно увеличиться, ведь сантиметр меньше метра. Ошибка возникает, если перепутать направление действия при переводе. Сверьтесь с соотношением единиц: 1 м = 100 см, значит 2 м — это 200 см, а не 0,02 см.
Складывать неоднородные величины. Длину и массу нельзя объединить в сумму как одноимённые слагаемые: у них разные смысл и единицы. Такие вычисления могут возникнуть, если числа записаны рядом и кажутся подходящими для сложения. Перед действием проверьте, относятся ли величины к одному роду; допустимы, например, сложение двух длин или двух масс.
Для работы с величинами нужны навыки действий с натуральными и десятичными числами, дробями, а также понимание отношений между единицами. Перевод единиц часто сводится к умножению или делению на число, показывающее, сколько мелких единиц содержится в крупной. Позже измерение понадобится при изучении геометрических величин, формул площади и объёма. В практических задачах эти знания помогают оценивать расстояния, массу предметов, продолжительность событий и размеры помещений.
Почему одной величины соответствуют разные числовые значения?
Числовое значение зависит от выбранной единицы измерения. Например, длина 1 м равна 100 см: в сантиметрах число больше, потому что сантиметр меньше метра.
Можно ли записать результат измерения одним числом?
Нет, число без единицы не показывает, что именно и в каком масштабе измерено. Запись 5 м сообщает длину, а просто 5 может означать метры, килограммы или минуты.
Как понять, нужно умножать или делить при переводе единиц?
Если переходите к более мелкой единице, числовое значение обычно умножают на число таких единиц в исходной. При переходе к более крупной единице делят на это число.
Почему перед сравнением величины приводят к одинаковым единицам?
Числа при разных единицах относятся к разным масштабам. После перевода в одну единицу можно сравнить числовые значения и сделать верный вывод.
Можно ли складывать величины, записанные в разных единицах?
Можно, если величины однородные, то есть относятся к одному роду, например обе являются длинами. Перед сложением их нужно выразить в одинаковых единицах.
Величины
