З Запись деления уголком

Определения и обозначения

Запись деления уголком — способ расположить делимое, делитель и вычисления по нахождению частного столбцом. Делимое записывают слева от вертикальной черты, делитель — справа от неё, а частное — над делимым. Такая запись помогает видеть отдельные шаги и следить за разрядами чисел.

Неполное делимое — часть делимого, которую делят на делитель на очередном шаге. Первую такую часть составляют из цифр делимого слева направо, а следующие получают, приписывая к остатку следующую цифру. Это число показывает, сколько сейчас можно разделить.

Неполное частное — цифра частного, найденная на одном шаге деления. Её записывают в частное над тем разрядом делимого, с которого начался этот шаг. Все найденные цифры вместе, с учётом их мест, образуют итоговое частное.

Остаток — число, которое получается после вычитания из неполного делимого произведения делителя на найденную цифру частного. Он показывает, сколько не удалось разделить на этом шаге. Остаток всегда должен быть меньше делителя: иначе можно было бы выделить ещё одну группу делителя.

Как это устроено

Сначала делимое записывают слева, делитель — справа от черты, а место для частного оставляют над делимым. Действия располагают под теми цифрами делимого, с которыми работают на данном шаге. Такое расположение помогает не потерять разряд: цифра частного должна соответствовать части делимого, из которой её получили.

Деление начинают с первой слева части делимого, которая не меньше делителя. Если первая цифра меньше делителя, разделить её на делитель с выделением целого числа групп нельзя, поэтому к ней присоединяют следующую цифру. Например, при делении 738 на 6 число 7 уже подходит, а при делении 2547 на 13 нужно взять 25: число 2 меньше 13. Так получают первое неполное делимое.

Чтобы найти цифру частного, подбирают наибольшую цифру, произведение которой на делитель не превосходит неполное делимое. Если взять цифру больше нужной, произведение окажется слишком большим и вычитание даст отрицательное число. Если взять меньшую цифру, часть неполного делимого останется неиспользованной, хотя её можно было разделить. Поэтому произведение служит проверкой правильности подбора.

Найденное произведение вычитают из неполного делимого, а к остатку сносят следующую цифру делимого. Так образуется новое неполное делимое для следующего шага. Например, если после вычитания осталось 1, а следующая цифра делимого — 8, снос этой цифры даёт 18. Каждую новую цифру частного записывают по порядку, сохраняя её разряд.

Деление заканчивается, когда все цифры делимого снесены и выполнено последнее вычитание. Остаток при этом должен быть меньше делителя; если он равен делителю или больше, частное на последнем шаге подобрано неверно. Для проверки умножают делитель на частное: при делении без остатка получают делимое, а при делении с остатком к произведению прибавляют остаток. Равенство подтверждает вычисление, но остаток всё равно нужно отдельно сравнить с делителем.

Шаги деления уголком

Пользуйся таблицей по порядку: каждый новый шаг начинается с остатка и следующей цифры делимого. Не переходи к следующей строке, пока не проверил результат текущего действия. В конце проверь и частное, и остаток.

Разбор задач

Вычислите 864 : 4 записью уголком.

1. Первая цифра 8 не меньше 4, значит, первое неполное делимое — 8. В 8 содержится две четвёрки, поэтому первая цифра частного равна 2; вычитаем 8 − 2 · 4 = 0.
2. Сносим 6. В 6 содержится одна четвёрка: записываем 1 в частное и вычитаем 6 − 4 = 2. Получившийся остаток меньше 4.
3. Сносим 4 к остатку 2 и получаем 24. В 24 содержатся шесть четвёрок, после вычитания 24 − 6 · 4 = 0.

Цифры частного — 2, 1 и 6, поэтому 864 : 4 = 216. Проверка: 216 · 4 = 864. Остаток равен нулю, значит, деление выполнено без остатка.

Вычислите 738 : 6 записью уголком.

1. 7 не меньше 6, поэтому первое неполное делимое — 7. В него помещается одна шестёрка; вычитаем 7 − 6 = 1.
2. Сносим 3 и получаем 13. Наибольшая цифра, произведение которой на 6 не превышает 13, — 2: 2 · 6 = 12. Вычитаем 13 − 12 = 1.
3. Сносим 8 и получаем 18. В 18 помещаются три шестёрки; после вычитания 18 − 3 · 6 = 0.

Найденные цифры частного — 1, 2 и 3, поэтому 738 : 6 = 123. Проверка показывает, что 123 · 6 = 738. На каждом шаге выбранная цифра была наибольшей подходящей.

Вычислите 2547 : 13 и проверьте ответ.

1. Первая цифра 2 меньше делителя 13, поэтому берём первые две цифры: первое неполное делимое — 25. В 25 помещается одна тринадцатка; вычитаем 25 − 13 = 12.
2. Сносим 4 и получаем 124. Наибольшая подходящая цифра — 9, так как 13 · 9 = 117, а 13 · 10 уже больше 124. Вычитаем 124 − 117 = 7.
3. Сносим 7 и получаем 77. Пять тринадцаток дают 65, а шесть — 78, что больше 77. Записываем 5 и получаем остаток 77 − 65 = 12.

Частное равно 195, остаток — 12. Проверка: 13 · 195 + 12 = 2535 + 12 = 2547. Остаток 12 меньше делителя 13, значит, деление завершено верно.

Типичные ошибки

Если начать делить с цифры, которая меньше делителя, первая цифра частного не будет соответствовать возможному числу групп. Такое случается, когда смотрят только на первую цифру и не проверяют её величину. Возьми наименьшую начальную часть делимого, которая не меньше делителя. Для проверки умножь делитель на предполагаемую первую цифру частного: произведение не должно превышать эту часть.

Иногда выбирают цифру частного так, что произведение делителя на неё больше неполного делимого. Часто это происходит при слишком быстрой оценке или ошибке в таблице умножения. Перед вычитанием обязательно сравни произведение с неполным делимым: оно должно быть не больше него. Если произведение больше, уменьши цифру частного.

Когда после снесения цифры новое неполное делимое меньше делителя, некоторые забывают записать ноль в частном. Так пропускается разряд и значение остальных цифр частного меняется. В этом случае поставь 0 на нужное место и продолжай сносить цифры, пока не получится неполное делимое, которое можно разделить. Проверь разрядный состав ответа и умножь частное на делитель.

Остаток, равный делителю или превышающий его, показывает, что шаг выполнен не до конца. Это бывает, если цифру частного выбрали слишком маленькой или ошиблись при вычитании. Проверь произведение и разность, а затем подбери цифру снова. Правильный остаток на каждом шаге меньше делителя.

Связь с другими темами

Для деления уголком нужны навыки умножения многозначных чисел и вычитания столбиком: подбор цифры частного опирается на умножение, а получение остатка — на вычитание. Также необходимо понимать разрядный состав числа, чтобы записывать каждую цифру частного на правильном месте. Если забыть разряд, ответ может оказаться неверным даже при правильно выполненных вычислениях.

Этот способ применяют при делении многозначных чисел, в том числе с остатком. Он помогает выполнять вычисления с десятичными дробями: там тоже важно последовательно находить цифры частного и следить за их разрядами. Умение проверять частное умножением пригодится и в других вычислениях.

Что запомнить

• Деление уголком выполняют поразрядно, слева направо.
• На каждом шаге находят наибольшую цифру частного, произведение с которой не превосходит неполное делимое.
• После вычитания сносят следующую цифру делимого.
• Каждую цифру частного записывают в соответствующем разряде.
• Остаток на каждом шаге меньше делителя.
• Результат можно проверить умножением делителя на частное.