Все действия с числами

Определения и обозначения

Сумма — результат сложения чисел, например a + b; числа a и b называются слагаемыми. Сложение объединяет числовые значения в один результат. Это действие используют, когда нужно узнать общее количество или перейти от одного значения к другому.

Разность — результат вычитания: в записи a − b число a называется уменьшаемым, b — вычитаемым. Уменьшаемое показывает исходное значение, а вычитаемое — какое значение из него убирают. Разность помогает находить, насколько числа отличаются друг от друга.

Произведение — результат умножения чисел, например a · b; числа a и b называются множителями. Умножение позволяет заменить повторяющееся сложение более короткой записью. Например, вместо 4 + 4 + 4 можно записать 3 · 4.

Частное — результат деления: в записи a : b число a называется делимым, а b — делителем. Деление показывает, на сколько равных частей разделили число или во сколько раз одно число содержится в другом. Делить на ноль нельзя: не существует числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое.

Как это устроено

Чтобы сложить числа с одинаковыми знаками, складывают их модули и оставляют общий знак: оба числа направлены в одну сторону от нуля, поэтому их расстояния от нуля объединяются. Например, −3 + (−4) = −7. Если знаки разные, числа направлены в противоположные стороны: часть их значений взаимно компенсируется, поэтому из большего модуля вычитают меньший. Знак результата совпадает со знаком числа, чей модуль больше.

Вычитание можно заменить сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). Это работает потому, что прибавление числа и последующее прибавление числа, противоположного ему, взаимно уничтожаются. Например, 6 − 2 = 6 + (−2), а 6 − (−2) = 6 + 2. Правило особенно удобно при отрицательных числах: оно позволяет свести вычитание к уже знакомому сложению.

При умножении и делении сначала определяют знак, а затем выполняют действие с модулями чисел. Одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный: например, (−3) · 4 = −12, а (−12) : (−3) = 4. Причина правила знаков связана с согласованностью арифметических действий: умножение должно сохранять распределительное свойство относительно сложения. Для нескольких множителей достаточно посчитать отрицательные: чётное количество даёт плюс, нечётное — минус.

Если перед скобками стоит плюс, знаки слагаемых внутри сохраняются: +(a − b) = a − b. Если стоит минус, каждое слагаемое заменяют противоположным: −(a − b) = −a + b. Так происходит потому, что вычитание всей суммы означает прибавление противоположного ей выражения. Поэтому перед раскрытием скобок полезно мысленно умножить каждый знак внутри на знак перед скобками.

Порядок действий нужен, чтобы одно и то же выражение все вычисляли одинаково. Сначала считают в скобках, затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, как и сложение с вычитанием, поэтому действия каждой такой группы выполняют слева направо. Если изменить порядок без скобок, может получиться другой результат.

Правила выполнения арифметических действий с числами

В таблице сначала найдите нужное действие, затем отдельно проверьте правило для знаков и важное условие. Для сложения полезно сравнить модули, а для умножения и деления — определить, одинаковы ли знаки. После этого можно выполнять действие с числами без знаков.

Разбор задач

Вычислите −8 + 13. Слагаемые имеют разные знаки, поэтому их модули не складывают: противоположные направления чисел частично компенсируются. Сравним расстояния от нуля: |−8| = 8, а |13| = 13. Больший модуль у положительного слагаемого, значит, результат будет положительным.

1. Вычитаем меньший модуль из большего: 13 − 8 = 5.
2. Ставим знак числа с большим модулем — знак плюс.
3. Получаем −8 + 13 = 5.

Ответ: 5. Проверить знак можно по величинам слагаемых: положительное число 13 больше по модулю, чем отрицательное число 8, поэтому итог должен быть положительным.

Вычислите 7 − (−5) − 9. Сначала заменим вычитание отрицательного числа сложением противоположного: вычесть −5 — значит прибавить 5. После такой замены получаем 7 + 5 − 9. Сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет, поэтому считаем слева направо.

1. Заменяем действие: 7 − (−5) − 9 = 7 + 5 − 9.
2. Выполняем первые два действия: 7 + 5 = 12.
3. Вычитаем 9: 12 − 9 = 3.

Ответ: 3. При проверке можно объединить положительные числа 7 и 5, а затем вычесть 9: положительная часть больше, поэтому результат действительно положительный.

Вычислите −18 : 3 + 2 · (−4 − 1). Здесь есть скобки, деление, умножение и сложение. Скобки считают первыми, после этого выполняют деление и умножение, а последним действием складывают полученные значения. Знаки частного и произведения определяем отдельно от вычисления модулей.

1. Считаем в скобках: −4 − 1 = −4 + (−1) = −5.
2. Выполняем деление: −18 : 3 = −6, потому что знаки разные; модули дают 18 : 3 = 6.
3. Выполняем умножение: 2 · (−5) = −10, потому что знаки разные.
4. Складываем результаты: −6 + (−10) = −16.

Ответ: −16. Оба результата промежуточных действий отрицательны, поэтому их сумма тоже отрицательна; модули складываются: 6 + 10 = 16.

Типичные ошибки

При сложении чисел с разными знаками иногда складывают модули, хотя так делают только при одинаковых знаках. Ошибка возникает из-за смешения двух правил: знаки сначала нужно сравнить. Проверьте, направлены ли слагаемые в одну сторону от нуля; если в разные, вычитайте меньший модуль из большего.

При вычитании отрицательного числа можно ошибочно оставить знак минус: например, принять 7 − (−5) за 7 − 5. Часто это происходит, когда знак перед скобками не связывают со знаком числа внутри. Замените вычитание сложением противоположного числа и проверьте, что два минуса перед числом дают плюс.

Знак произведения или частного иногда определяют по одному отрицательному множителю, не учитывая остальные. Чтобы не ошибиться, посчитайте все отрицательные множители: чётное количество даёт положительный результат, нечётное — отрицательный. При делении двух чисел достаточно сравнить их знаки: одинаковые дают плюс, разные — минус.

Ещё одна ошибка — выполнить сложение раньше умножения или деления. Так поступают, если читают выражение только слева направо и забывают о приоритете действий. Сначала отметьте скобки, затем выполните умножение и деление по порядку, после чего переходите к сложению и вычитанию; полезно проверять каждый промежуточный результат.

Связь с другими темами

Для работы с отрицательными числами нужно знать, что такое положительное и отрицательное число, модуль и противоположные числа. Модуль показывает расстояние от числа до нуля, а противоположные числа имеют одинаковые модули и разные знаки. Эти понятия объясняют, почему при сложении разных знаков сравнивают модули и почему вычитание заменяют сложением противоположного.

Правила действий применяются при упрощении числовых выражений и вычислениях с дробями: знаки и порядок действий сохраняются. Они также нужны при решении уравнений, когда выражения преобразуют, чтобы найти неизвестное число. Уверенное выполнение действий помогает проверять вычисления на каждом этапе.

Что запомнить

• Сумма чисел с одинаковыми знаками имеет тот же знак.
• При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитают меньший.
• Вычитание числа заменяют сложением противоположного числа.
• При умножении и делении одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный.
• На ноль делить нельзя.
• Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание.