Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек. Фигурой может быть одна точка, линия или часть плоскости. Такое определение позволяет описывать одним языком и простые объекты, и сложные формы. Например, круг состоит из множества точек плоскости.

Точка — основной геометрический объект, который не имеет размеров: у неё нельзя измерить длину, ширину или высоту. Точку обозначают заглавной латинской буквой, например A или O. Буква нужна, чтобы назвать точку и ссылаться на неё в рассуждении. На чертеже её обычно отмечают маленькой точкой.

Прямая — линия, не имеющая ни начала, ни конца. Её можно обозначить строчной латинской буквой или назвать по двум точкам, лежащим на ней: прямая AB. Такое обозначение помогает отличить нужную прямую от других линий. На рисунке виден лишь её фрагмент.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка; отрезок с концами A и B обозначают AB. В отличие от прямой, он имеет определённую длину: его границы заданы концами. Поэтому, называя отрезок, указывают обе ограничивающие его точки.

Как это устроено

Фигуру рассматривают как множество точек, потому что её форму можно описать тем, какие точки в неё входят. Такой взгляд подходит и для единичной точки, и для линии, и для области на плоскости. Кроме того, он объясняет, как одна фигура может быть частью другой: например, точка лежит на прямой, а отрезок целиком принадлежит прямой. Тогда говорят, что одна фигура содержится в другой.

Прямую на чертеже изображают линией, но лист не может вместить её целиком: прямая продолжается бесконечно. Поэтому нарисованный фрагмент — лишь условное представление, а не указание на реальные концы. Если на линии не отмечены конечные точки, нельзя считать её отрезком только потому, что изображение упирается в край листа. Продолжение прямой мысленно проводят в обе стороны.

Чтобы получить отрезок, на прямой отмечают две точки и рассматривают часть линии между ними вместе с самими точками. Они становятся концами и ограничивают выбранную часть. Именно наличие границ позволяет измерить расстояние между концами и назвать его длиной отрезка. У прямой такой длины нет, потому что её нельзя ограничить двумя конечными точками.

Если отметить на прямой точку O, она разделит линию на две части, и каждую называют лучом с началом O. Луч включает начало и все точки прямой по одну сторону от него, продолжаясь без конца в этом направлении. От прямой он отличается наличием начала, а отрезок — тем, что имеет только одно начало и не имеет второго конца. Два получившихся луча направлены в разные стороны.

Два луча с общим началом образуют угол. Общее начало называют вершиной, а сами лучи — сторонами угла, поэтому для описания угла нужно знать и вершину, и направление обеих сторон. При записи тремя буквами средняя буква обозначает вершину: в угле AOB это O. На чертеже стороны показывают, какие именно лучи образуют угол.

Сравнение основных геометрических фигур

Сначала проверьте, есть ли у фигуры начало и конец, затем найдите её основные элементы. По ним проще выбрать обозначение и не спутать прямую, отрезок и луч. Для угла отдельно установите вершину: в записи из трёх букв она стоит посередине.

Разбор задач

Прямая и отрезок через точки A и B

Условие: на рисунке отмечены точки A и B. Нужно назвать прямую и отрезок, проходящие через эти точки. Важно выяснить, ограничена ли рассматриваемая фигура концами. Две точки задают и прямую, и отрезок, но это разные фигуры.

1. Прямая, проходящая через A и B, обозначается AB; она продолжается в обе стороны за эти точки.
2. Отрезок с концами A и B тоже обозначается AB, но включает только часть прямой между A и B.
3. Сверьте обозначение с вопросом: слово «прямая» означает бесконечное продолжение, а «отрезок» — ограниченную часть.

Ответ: прямая AB и отрезок AB. Одинаковое обозначение по двум буквам уточняется названием фигуры и чертежом. У отрезка точки A и B — концы, у прямой они лишь лежат на ней.

Точка C на отрезке AB

Условие: точка C отмечена на отрезке AB. Нужно записать, на какие отрезки она его делит. Поскольку C лежит между A и B, исходный отрезок распадается на две части. Точка C входит в обе части и становится концом каждой из них.

1. Первую часть ограничивают точки A и C, поэтому это отрезок AC.
2. Вторую часть ограничивают точки C и B, поэтому это отрезок CB, который также можно записать как BC.
3. Проверьте, что оба отрезка имеют общую точку C и вместе составляют исходный отрезок AB.

Ответ: отрезки AC и CB (или BC). Точка C принадлежит обоим отрезкам, так как является концом каждого. Она не исчезает из фигуры при делении отрезка.

Лучи с началом O

Условие: на прямой отмечена точка O, а точки A и B расположены по разные стороны от неё. Нужно назвать лучи с началом O и определить их взаимное расположение. В обозначении луча первая буква показывает начало, а вторая — направление. Поэтому важно не переставить буквы местами.

1. Луч, начинающийся в O и проходящий через A, обозначают OA.
2. Луч, начинающийся в O и проходящий через B, обозначают OB.
3. Оба луча лежат на одной прямой, имеют общее начало O и направлены в разные стороны, значит, они противоположные.

Ответ: лучи OA и OB — противоположные. Каждый включает точку O, но продолжается по своей стороне прямой. Если бы A и B находились по одну сторону от O, лучи не были бы противоположными.

Типичные ошибки

Ошибка: считать прямую ограниченной краями нарисованной линии. Так бывает потому, что на странице виден только конечный фрагмент. Проверка: посмотрите, отмечены ли на концах специальные точки; если нет, изображение может обозначать прямую, продолжающуюся в обе стороны.

Ошибка: путать прямую и отрезок. На чертеже обе фигуры выглядят как линия, поэтому легко не заметить смысл границ. Проверка: у отрезка должны быть два конца, а прямая не имеет концов и продолжается за пределы изображения.

Ошибка: обозначать луч одной точкой. Одна буква называет его начало, но не показывает, в какую сторону он направлен. Проверка: запишите две буквы и убедитесь, что первой стоит точка начала, а вторая лежит на луче дальше по направлению.

Ошибка: менять порядок букв в обозначении угла из трёх букв. Если перепутать порядок, можно указать другую вершину или неверно описать стороны. Проверка: найдите общую точку лучей и поставьте её средней буквой, как в записи ∠AOB, где вершина — O.

Связь с другими темами

Для начала достаточно уметь отмечать точки и читать простые чертежи. Понятия прямой, отрезка и луча понадобятся при изучении углов и измерении длин: сначала нужно определить фигуру и её границы, а затем выбирать подходящее измерение. Так обозначения помогают переходить от рисунка к точной записи.

Эти фигуры служат основой для изучения треугольников, многоугольников и окружности. У многоугольника есть вершины и отрезки-стороны, а построения опираются на точное проведение линий и лучей. Поэтому умение различать основные фигуры пригодится и при решении задач на построение.

Что запомнить

• Точка не имеет размеров и обозначается заглавной латинской буквой.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Луч имеет начало и продолжается в одном направлении.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• Фигуры на чертеже изображают условно: линии продолжаются за пределами рисунка, если не отмечены их концы.