"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Конус — геометрическое тело с круглым основанием и одной вершиной вне его плоскости. Его можно представить как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета. Чтобы решать задачи о конусе, нужно различать высоту и образующую, знать связь между ними и радиусом, а также формулы площади поверхности и объёма. Эти знания помогают рассчитывать вместимость и площадь предметов конической формы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, полученное соединением всех точек круга с точкой, не лежащей в плоскости этого круга. Иными словами, от каждой точки круга мысленно проводят отрезок к одной общей точке вне него. Такое определение помогает представить форму конуса и понять, какие части образуют его поверхность.
Круг, точки которого соединяют с внешней точкой, называется основанием конуса, а сама внешняя точка — вершиной. Основание ограничивает тело снизу, а все отрезки, проведённые от его окружности к вершине, образуют боковую поверхность. Эти названия позволяют точно описывать части конуса в задаче.
Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания; её длину обозначают l. Таких отрезков можно провести много — по одному к каждой точке окружности. Образующая нужна, в частности, для вычисления площади боковой поверхности.
Высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания; длину высоты обозначают h. Перпендикуляр показывает кратчайшее расстояние от вершины до плоскости, поэтому высоту нельзя заменять наклонной образующей. Высота особенно важна при вычислении объёма.
Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Катет, вокруг которого происходит вращение, становится осью тела и задаёт его высоту; второй катет при вращении описывает круг основания. Гипотенуза движется по боковой поверхности, поэтому её положение образует образующую конуса. Так видно, почему в построении возникают и круг, и наклонные отрезки, сходящиеся в вершине.
Если конус получен таким вращением, он называется прямым круговым конусом. При вращении вершина остаётся на оси, а ось проходит через центр основания, поскольку центр круга лежит на прямой, вокруг которой вращается треугольник. Значит, перпендикуляр из вершины к основанию попадает в его центр: это и есть высота. Поэтому у прямого конуса высота перпендикулярна основанию и проходит через его центр.
Рассмотрим сечение прямого конуса плоскостью, проходящей через его ось. На плоскости окажутся высота, радиус основания и образующая, соединяющая вершину с краем основания. Высота перпендикулярна радиусу, поэтому эти три отрезка составляют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора l² = h² + r²; эта связь позволяет найти неизвестную длину, если известны две остальные.
Осевое сечение проходит через ось конуса и пересекает основание по его диаметру. Получившийся треугольник имеет две боковые стороны, равные образующим, а значит, он равнобедренный. Если же плоскость параллельна основанию, сечение будет кругом: оно подобно основанию, но расположено ближе к вершине и имеет меньший радиус. Форма сечения помогает представить устройство тела внутри, не только его внешний вид.
Формулы поверхностей связаны с развёрткой — плоской фигурой, в которую можно развернуть поверхность. Боковая поверхность прямого конуса при развёртывании образует сектор круга радиуса l, а длина его дуги равна длине окружности основания, 2πr; отсюда площадь боковой части равна πrl. К ней для полной поверхности прибавляют площадь основания πr². Объём выражает вместимость тела: конус занимает треть объёма цилиндра с теми же основанием и высотой, поэтому V = ⅓πr²h.
| Величина | Обозначение | Формула или связь |
|---|---|---|
| Радиус основания | r | Радиус круга основания |
| Высота | h | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания |
| Образующая | l | l² = h² + r² |
| Площадь основания | Sосн | Sосн = πr² |
| Площадь боковой поверхности | Sбок | Sбок = πrl |
| Площадь полной поверхности | Sполн | Sполн = πr² + πrl |
| Объём | V | V = ⅓πr²h |
Сначала определите по условию, какая величина известна и какую нужно найти. Для площадей используйте длины в одних единицах, а объём выражайте в кубических единицах. В формуле боковой поверхности нужна образующая l, в формуле объёма — высота h.
Радиус основания конуса равен 6 см, а высота — 8 см. Найдите образующую. Ищем её по прямоугольному треугольнику, составленному высотой, радиусом и образующей: образующая здесь гипотенуза. Сначала запишем теорему Пифагора, затем подставим известные длины.
Ответ: 10 см. Проверка показывает, что длины 6, 8 и 10 образуют прямоугольный треугольник, а найденная образующая больше каждого из катетов. Это согласуется с тем, что она является гипотенузой.
Образующая прямого конуса равна 13 см, радиус основания — 5 см. Найдите высоту и площадь боковой поверхности. Сначала нужно найти высоту: она вместе с радиусом и образующей входит в прямоугольный треугольник. Затем для площади боковой поверхности используем формулу с образующей, а не с высотой.
Ответ: высота 12 см, площадь боковой поверхности 65π см². Длину нашли извлечением положительного корня, поскольку речь идёт о высоте. В площади использовали данные радиус и образующую.
Найдите объём и площадь полной поверхности конуса с радиусом основания 3 см и высотой 4 см. Для полной площади сначала понадобится образующая, а объём можно вычислить по радиусу и высоте сразу. Поэтому удобно начать с прямоугольного треугольника, а затем применить обе формулы отдельно.
Ответ: V = 12π см³, Sполн = 24π см². В ответе единицы объёма — кубические, а единицы площади — квадратные. Это полезная проверка: разные величины не должны иметь одинаковые единицы измерения.
Высоту путают с образующей, потому что обе длины начинаются в вершине. Но высота обязательно перпендикулярна основанию, а образующая идёт к окружности и обычно наклонена. Перед вычислением отметьте на схеме, какой отрезок известен: в прямом конусе образующая — гипотенуза, а высота — катет. Если угол между отрезком и основанием прямой, это высота.
В формуле объёма иногда записывают V = πr²h, как для цилиндра. Так забывают, что конус с теми же радиусом основания и высотой занимает только треть объёма цилиндра. Проверьте запись по формуле V = ⅓πr²h и по смыслу: объём конуса должен быть меньше объёма такого цилиндра. Множитель ⅓ нельзя убирать даже тогда, когда вычисляют площадь основания отдельно.
Для боковой поверхности могут подставить высоту вместо образующей, потому что высота кажется главной длиной конуса. Однако формула Sбок = πrl связана с развёрткой боковой поверхности, радиус сектора в ней равен именно образующей. Перед подстановкой подпишите величины r, h и l, затем сверьте формулу. Если образующая неизвестна, сначала найдите её по теореме Пифагора.
Диаметр основания принимают за радиус и подставляют его вместо r. Диаметр вдвое больше радиуса, а в формулах радиус возводится в квадрат, поэтому такая ошибка особенно сильно меняет площадь и объём. Если дан диаметр d, сначала найдите r = d/2. Проверить себя можно по окружности: радиус должен быть вдвое меньше диаметра.
Для решения задач о конусе нужны знания о круге, радиусе и диаметре, а также формулы площади круга и теорема Пифагора. Например, площадь основания находят как πr², а образующую — через прямоугольный треугольник. Конус относится к телам вращения, поэтому его изучают рядом с цилиндром и шаром. Позже эти формулы используют в задачах на объём, площади поверхностей, развёртки и сочетания геометрических тел.
Чем высота конуса отличается от образующей?
Высота — перпендикуляр из вершины к плоскости основания, а образующая соединяет вершину с точкой окружности. В прямом конусе высота и образующая обычно имеют разную длину: образующая наклонена к основанию.
Почему в формуле объёма конуса появляется множитель 1/3?
Конус с теми же площадью основания и высотой занимает треть объёма цилиндра, в который он вписан. Поэтому объём равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓πr²h.
Как найти высоту, если известны радиус и образующая?
В прямом конусе высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора h² = l² − r², значит, h = √(l² − r²).
Когда используют площадь боковой поверхности, а когда площадь полной поверхности?
Площадь боковой поверхности нужна, если считают только коническую часть, без круглого основания. Площадь полной поверхности учитывает и боковую часть, и основание: Sполн = πrl + πr².
Всегда ли осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником?
Для прямого кругового конуса осевое сечение — равнобедренный треугольник: его боковые стороны являются равными образующими. Для произвольного конуса это не обязательно, поскольку образующие могут иметь разную длину.
Конус
