"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Конус — тело с круглым основанием и боковой поверхностью, которая сходится в одной вершине. Такие тела встречаются в предметах вокруг нас, а в геометрии помогают изучать тела вращения и их сечения. Чтобы решать задачи о прямом круговом конусе, нужно различать радиус основания, высоту и образующую: они образуют прямоугольный треугольник и связаны теоремой Пифагора. Развёртка позволяет увидеть, как боковая поверхность связана с окружностью основания.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, ограниченное кругом-основанием и боковой поверхностью, сходящейся в одной точке. Если провести от этой точки отрезки к точкам окружности основания, они заполнят боковую поверхность. Это определение помогает отличить конус от плоской фигуры и представить его форму.
Основание конуса — круг, лежащий в плоскости и ограничивающий конус снизу. Круг включает и внутренние точки, и свою границу — окружность, поэтому основание не следует называть только окружностью. Радиус основания обычно обозначают r, и он нужен для вычислений и построения сечений.
Вершина конуса — точка вне плоскости основания, к которой сходятся образующие. Она находится отдельно от основания, а не на его окружности. Вершина задаёт направление боковой поверхности и служит началом отрезков, соединяющих её с основанием.
Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания. Образующие составляют боковую поверхность; в прямом круговом конусе их длины одинаковы и обозначаются l. Не путай их с высотой: высота идёт к плоскости основания под прямым углом, а образующая наклонена.
Представь прямоугольный треугольник и вращай его вокруг одного из катетов. Этот катет не меняет положения и становится осью конуса, а второй катет описывает круг — основание. Гипотенуза при вращении заметает боковую поверхность, поэтому её длина равна образующей. Так получается прямой круговой конус, у которого центр основания лежит на оси.
Высотой называют расстояние от вершины до плоскости основания, потому что расстояние от точки до плоскости измеряется по перпендикуляру. Наклонный отрезок до точки основания длиннее и не показывает кратчайшее расстояние до плоскости. Перпендикулярная высота встречается с основанием в его центре у прямого кругового конуса; для наклонного конуса основание перпендикуляра может быть не центром.
В прямом круговом конусе высота h, радиус основания r и образующая l образуют прямоугольный треугольник. Радиус лежит в плоскости основания, а высота перпендикулярна этой плоскости, значит, угол между ними прямой. Образующая напротив прямого угла является гипотенузой, поэтому по теореме Пифагора l² = r² + h². Это соотношение относится именно к прямому круговому конусу и позволяет найти неизвестную длину.
Осевое сечение получают плоскостью, которая проходит через вершину и ось конуса; она пересекает основание по диаметру. В прямом круговом конусе края этого сечения идут по двум образующим. Они равны, так как любая образующая такого конуса имеет одинаковую длину, поэтому сечение — равнобедренный треугольник. Его основание равно диаметру, то есть 2r, а не r.
Если разрезать боковую поверхность по образующей и разложить её на плоскости, получится сектор круга. Радиус этого сектора равен длине образующей, потому что при развёртывании длина каждого прямого отрезка до вершины сохраняется. Край сектора — дуга, которая до разрезания огибала окружность основания. Поэтому длина дуги равна длине окружности основания, 2πr, а центральный угол определяет, какую долю полного круга составляет сектор.
| Элемент или соотношение | Обозначение | Что означает |
|---|---|---|
| Радиус основания | r | Расстояние от центра основания до его окружности |
| Высота | h | Перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания |
| Образующая | l | Отрезок от вершины до точки окружности основания |
| Связь элементов: l² = r² + h² | l, r, h | Теорема Пифагора для прямого кругового конуса |
| Длина дуги сектора в развёртке | 2πr | Равна длине окружности основания |
Сначала определи, какие величины известны, и выбери соответствующую строку таблицы. Для прямоугольного треугольника используй соотношение l² = r² + h², а для развёртки — равенство длины дуги и 2πr. Перед подстановкой проверь, что вместо диаметра не взят радиус.
Радиус основания конуса равен 3 см, высота — 4 см. Найдите длину образующей. Речь идёт о прямом круговом конусе: его высота перпендикулярна радиусу основания, поэтому эти отрезки вместе с образующей образуют прямоугольный треугольник.
Проверка: 5² = 3² + 4², то есть 25 = 25. Ответ: 5 см.
Образующая прямого кругового конуса равна 13 см, радиус основания — 5 см. Найдите высоту. Здесь образующая — гипотенуза, поэтому высота является катетом и её можно найти, вычитая квадрат другого катета из квадрата гипотенузы.
Проверка: 13² = 5² + 12², равенство верно, а найденная высота положительна. Ответ: 12 см.
Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса 10 см с центральным углом 144°. Найдите радиус основания конуса. Длина дуги сектора составляет такую же долю длины всей окружности, какую угол 144° составляет от полного угла 360°. Именно дугу, а не всю окружность сектора, нужно приравнять к окружности основания.
Проверка: окружность радиуса 4 см имеет длину 8π см — столько же, сколько дуга сектора. Ответ: 4 см.
Считать высоту образующей — значит заменить перпендикуляр наклонным отрезком. Так ошибаются, потому что оба отрезка начинаются в вершине и доходят до основания. Проверь себя: высота образует прямой угол с плоскостью основания, а образующая заканчивается на окружности и не перпендикулярна ей.
Применять l² = r² + h² к произвольному конусу нельзя: для этого прямоугольного треугольника необходим прямой угол между высотой и радиусом. Ошибка возникает, когда свойство прямого кругового конуса переносят на наклонный. Уточни вид конуса и проверь, образуют ли его высота и радиус прямой угол.
Путать радиус и диаметр легко, если на рисунке показан отрезок через весь круг. Радиус идёт от центра до окружности, а диаметр проходит через центр от края до края и равен 2r. В осевом сечении основание треугольника — диаметр, поэтому проверь, не подставил ли ты его вместо r в формулу.
При работе с развёрткой нельзя приравнивать всю окружность сектора окружности основания: край боковой поверхности образует только дугу сектора. Эту ошибку допускают, забывая, что сектор может занимать лишь часть круга. Проверь расчёт по центральному углу: длина дуги должна составлять соответствующую долю полной окружности сектора.
Для изучения конуса нужны знания о круге, окружности, радиусе, диаметре и перпендикулярности. Теорема Пифагора помогает связывать образующую, высоту и радиус прямого кругового конуса. Конус относится к телам вращения и вместе с цилиндром и шаром изучается через их форму и сечения. Развёртка станет полезной при нахождении площади боковой и полной поверхности конуса.
Чем высота конуса отличается от образующей?
Высота — перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания. Образующая соединяет вершину с точкой окружности основания и обычно наклонена к плоскости.
Всегда ли образующая конуса больше его высоты?
У прямого кругового конуса образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота — одним из его катетов, поэтому образующая больше высоты. Это верно при ненулевом радиусе основания.
Как найти высоту, если известны радиус основания и образующая?
Для прямого кругового конуса используй равенство l² = r² + h². Вырази высоту: h = √(l² − r²), затем проверь, что под корнем получилось положительное число.
Почему осевое сечение прямого кругового конуса — равнобедренный треугольник?
Осевое сечение проходит через вершину и диаметр основания. Оно пересекает боковую поверхность по двум образующим, а у прямого кругового конуса все образующие равны, поэтому две стороны треугольника равны.
Как по развёртке боковой поверхности найти радиус основания?
Найди длину дуги сектора по его радиусу и центральному углу. Эта дуга равна длине окружности основания, поэтому приравняй её к 2πr и вырази r.
Конус
