"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Основные задания по математике учат работать с выражениями, уравнениями, неравенствами и текстовыми задачами. Для каждого вида задания нужен свой способ: вычислить значение, упростить запись, найти неизвестное или описать множество решений. Главное — распознать условие, соблюдать порядок действий, выполнять равносильные преобразования и проверять результат. Эти навыки нужны для дальнейшего изучения алгебры и решения практических задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись с числами и знаками действий, значение которой находят по установленному порядку вычислений. Например, 8 + 3 · 2 — числовое выражение. Оно нужно, чтобы правильно описывать и выполнять вычисления.
Буквенное выражение — запись с переменными, значение которой зависит от заданных значений букв. В выражении 4x − 1 буква x может обозначать разные числа. Такие записи помогают работать с неизвестными величинами и составлять общие правила.
Уравнение — равенство с неизвестным, при котором требуется найти все значения неизвестного, превращающие равенство в верное. Найденное значение называют корнем уравнения. Уравнение позволяет по известным данным восстановить неизвестную величину.
Неравенство — запись, сравнивающая два выражения; его решением являются все значения переменной, при которых сравнение верно. Для записи используют знаки <, >, ≤ и ≥. В отличие от уравнения, неравенство часто имеет не один корень, а целое множество решений.
Сначала определяют вид задания: вычисление, упрощение, уравнение, неравенство или текстовая задача. Это необходимо потому, что результат требуется получать по-разному: число вычисляют, выражение преобразуют, а неизвестное находят из условия. Если сразу выбрать неподходящий приём, запись станет длиннее, а ошибка — вероятнее.
Порядок действий делает значение числового выражения однозначным. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после них — сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо. Благодаря этим правилам разные люди получают один и тот же результат, а запись не зависит от случайного выбора исполнителя.
Буквенное выражение упрощают, раскрывая скобки и объединяя подобные слагаемые. При раскрытии используют распределительное свойство: a(b + c) = ab + ac, а перед скобкой со знаком минус меняют знаки всех слагаемых внутри. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть, поэтому складывают или вычитают их коэффициенты.
В уравнении можно выполнять одинаковые преобразования левой и правой частей: прибавлять, вычитать, умножать или делить на одно и то же допустимое число. Равенство сохраняется, потому что обе его части изменяются одинаково. Перенос слагаемого — сокращённая запись такого действия, поэтому при переходе через знак равенства знак меняется на противоположный.
Решение неравенства удобно изображать на числовой прямой: пустая точка показывает, что граница не входит, а закрашенная — что входит. Луч или отрезок отмечает все подходящие значения переменной. При умножении или делении на отрицательное число направление сравнения меняется, потому что порядок чисел на числовой прямой при таком действии переворачивается.
Найдите в таблице сначала тип задания, затем требуемый результат и основной приём. Последний столбец подсказывает, каким способом обнаружить возможную ошибку.
| Вид задания | Что дано | Что требуется найти | Основной приём | Как проверить результат |
|---|---|---|---|---|
| Вычисление числового выражения | Числа, знаки действий, скобки | Значение выражения | Соблюсти порядок действий | Повторить вычисления или оценить результат |
| Упрощение буквенного выражения | Переменные, числа и действия | Более простую равную запись | Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые | Подставить удобное значение букв в обе записи |
| Решение линейного уравнения | Равенство с неизвестной первой степени | Корень или все корни | Собрать неизвестные и известные, разделить на коэффициент | Подставить корень в исходное уравнение |
| Решение линейного неравенства | Сравнение с неизвестной первой степени | Множество решений | Выполнить равносильные преобразования и учесть знак | Проверить граничные и пробные значения |
| Текстовая задача | Условие, величины и связи между ними | Величину из вопроса | Ввести переменную и составить модель | Сверить с условием, единицами и смыслом |
Задача 1. Вычислить значение выражения 18 − 2 · (5 + 4) и объяснить порядок действий. В записи есть скобки, умножение и вычитание, поэтому действия нельзя выполнять просто слева направо.
Ответ: 0. Такой результат показывает, что порядок действий был выбран верно: сначала скобки, затем умножение, затем вычитание.
Задача 2. Упростить выражение 3(2x − 5) − 4x и решить уравнение 3(2x − 5) − 4x = 7. Сначала упростим левую часть, чтобы неизвестная была представлена одним слагаемым.
Ответ: упрощённое выражение — 2x − 15, корень уравнения — x = 11.
Задача 3. В двух коробках 46 карандашей, причём во второй на 8 карандашей больше, чем в первой. Нужно найти количество карандашей в каждой коробке. Удобно обозначить переменной количество карандашей в первой коробке.
Ответ: в первой коробке 19 карандашей, во второй — 27 карандашей.
Нарушают порядок действий и начинают считать слева направо. Так происходит, когда знаки воспринимают как равноправные, хотя умножение и деление имеют приоритет. Отметьте скобки и подчеркните действия по очереди, чтобы проверить себя.
При раскрытии скобок после знака минус оставляют прежние знаки слагаемых. Ошибка возникает из-за того, что минус перед скобками забывают рассматривать как умножение на −1. Раскройте скобки отдельно и убедитесь, что каждый знак внутри изменился.
При переносе слагаемого через знак равенства сохраняют его знак. Обычно путают перенос с простым переписыванием части выражения. Проверьте преобразование обратным действием: прибавляли слагаемое — значит, при переносе должны были вычесть его.
Записывают только найденное число без проверки и ответа на вопрос задачи. Арифметическая ошибка или несоответствие единицам тогда остаются незамеченными. Подставьте корень в исходное равенство, сверьте условие и сформулируйте ответ словами.
До темы нужно знать действия с целыми, дробными и отрицательными числами, порядок действий и свойства равенств. Решение опирается на раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и преобразование выражений. Эти навыки понадобятся при изучении систем уравнений, функций, процентов, пропорций и текстовых задач.
Как понять, с какого действия начинать вычисление?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после этого сложение и вычитание. Если действий одного уровня несколько, их выполняют слева направо.
Можно ли раскрывать скобки до выполнения действий внутри них?
Иногда раскрытие скобок допустимо, если выражение преобразуют по распределительному свойству. Но при обычном вычислении удобнее сначала выполнить действия внутри скобок, чтобы не усложнять запись.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
Перенос — это короткая запись прибавления или вычитания одного и того же числа в обеих частях уравнения. Поэтому слагаемое оказывается по другую сторону равенства с противоположным знаком.
Когда в неравенстве нужно менять знак сравнения?
Знак сравнения меняют при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число. При сложении, вычитании, умножении или делении на положительное число знак сохраняется.
Обязательно ли проверять ответ после решения уравнения?
Проверка не всегда обязательна для записи решения, но она помогает обнаружить ошибку в преобразованиях или вычислениях. Для проверки найденное значение подставляют в исходное уравнение.
Основные задания
