"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Арифметические действия позволяют изменять и сравнивать числа, а выражения помогают записывать несколько таких действий вместе. Чтобы правильно находить значение выражения, нужно знать названия его компонентов и соблюдать порядок вычислений. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Если действия имеют одинаковую очередность, их выполняют слева направо. Эти правила помогают не путать вычисления и пригодятся при решении уравнений и работе с дробями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
При сложении числа, которые складывают, называют слагаемыми, а результат — суммой. Например, в записи 7 + 5 = 12 числа 7 и 5 — слагаемые, а 12 — сумма. Сложение помогает узнать общее количество, когда части объединяют.
При вычитании первое число называют уменьшаемым, второе — вычитаемым, а результат — разностью: 12 − 5 = 7. Вычитание связано с нахождением неизвестного слагаемого: в сумме 5 + □ = 12 неизвестное число равно 12 − 5. Так можно проверить, сколько нужно прибавить к известному числу, чтобы получить сумму.
При умножении числа называют множителями, а результат — произведением: 4 · 3 = 12. Умножение можно представить как сложение одинаковых слагаемых: 4 · 3 = 4 + 4 + 4. Оно удобно, когда одно и то же число нужно сложить несколько раз.
При делении первое число называют делимым, второе — делителем, результат — частным: 12 : 3 = 4. Деление связано с умножением: частное показывает, какое число нужно умножить на делитель, чтобы получить делимое. Поэтому 12 : 3 = 4, так как 3 · 4 = 12.
Числа и знаки арифметических действий можно объединить в выражение, например 8 + 6 · 4. Чтобы найти значение выражения, нужно выполнить записанные действия и получить число. При нескольких действиях важно сначала определить их очередность: иначе одна и та же запись может привести к разным ответам. Знаки действий и скобки подсказывают, как именно вычислять.
В выражении без скобок сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Это правило позволяет увидеть, какие части выражения связаны теснее: умножение, например, показывает несколько одинаковых слагаемых и выполняется до их прибавления к другим числам. Поэтому 8 + 6 · 4 означает, что к восьми прибавляют произведение 6 и 4, а не складывают 8 и 6 перед умножением.
Умножение и деление относятся к одной ступени, как и сложение с вычитанием. Действия одной ступени выполняют по порядку слева направо, потому что в записи нет основания считать одно из них важнее другого. Например, в выражении 24 : 3 · 2 сначала делят 24 на 3, а потом полученный результат умножают на 2. Такой порядок сохраняет смысл последовательных вычислений.
Скобки меняют обычную очередность: действие внутри них нужно выполнить раньше остальных. Скобки как бы объединяют часть выражения в отдельный шаг, поэтому сначала находят её значение, а потом подставляют его вместо выражения в скобках. Если скобки вложены одна в другую, сначала вычисляют то, что находится во внутренних скобках. При переписывании промежуточной записи скобки нельзя терять, если они ещё влияют на порядок действий.
Чтобы не запутаться в выражении с несколькими действиями, полезно пронумеровать их в нужной очередности и после каждого шага записывать новый результат. Например, в 72 : (15 − 6) + 3 · 5 сначала отмечают действие в скобках, затем деление и умножение, а последним — сложение. Скобки дают результат 9, после чего остаются деление и умножение одной ступени. Выполнив их слева направо, получают два числа, которые складывают в конце.
| Действие | Запись | Компоненты | Как называют результат | Очередность в выражении |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | a + b | слагаемые | сумма | после умножения и деления; слева направо с вычитанием |
| Вычитание | a − b | уменьшаемое, вычитаемое | разность | после умножения и деления; слева направо со сложением |
| Умножение | a · b | множители | произведение | до сложения и вычитания; слева направо с делением |
| Деление | a : b | делимое, делитель | частное | до сложения и вычитания; слева направо с умножением |
Сначала проверь, есть ли в выражении скобки, затем найди умножение и деление, а после — сложение и вычитание. В каждой паре действий одинаковой ступени двигайся слева направо. Таблица поможет вспомнить и названия компонентов, и порядок вычислений.
Задача 1. Вычислить 36 + 24 − 15. Здесь есть сложение и вычитание, а они относятся к одной ступени. Поэтому нельзя сначала выбрать вычитание только потому, что оно стоит ближе к концу записи: нужно двигаться слева направо. Промежуточный результат сложения используем в следующем действии.
Ответ: 45.
Задача 2. Вычислить 8 + 6 · 4. В выражении есть сложение и умножение, поэтому сначала выполняем умножение. Только после этого можно прибавить восемь: так мы соблюдаем установленную очередность действий.
Ответ: 32.
Задача 3. Вычислить 72 : (15 − 6) + 3 · 5. Сначала вычислим скобки, так как они задают обязательный первый шаг. Затем выполним деление и умножение; они одной ступени, поэтому будем двигаться слева направо. Сложение оставим последним, потому что оно выполняется после этих действий.
Ответ: 23.
Выполняют все действия строго слева направо, не учитывая преимущество умножения и деления. Так ошибаются, когда ориентируются только на расположение знаков и забывают про ступени действий. Перед вычислением проверь, нет ли умножения или деления перед сложением и вычитанием.
Считают, что деление всегда выполняется раньше умножения. Но эти действия одной ступени, поэтому их выполняют слева направо: в записи 24 : 3 · 2 сначала будет деление. Проверить себя можно, пронумеровав действия по порядку чтения.
Меняют порядок сложения и вычитания, хотя они равноприоритетны и выполняются слева направо. Например, в 36 + 24 − 15 сначала находят 36 + 24, а не вычитают 15 из 24. Чтобы не ошибиться, записывай результат каждого шага и используй его в следующем действии.
Начинают вычислять не со скобок или теряют скобки при переписывании выражения. Это меняет смысл записи: действия в скобках должны быть выполнены первыми. Проверяй промежуточную строку и убеждайся, что скобки не пропали до вычисления заключённой в них части.
Для вычислений понадобятся знание таблиц сложения и умножения, а также умение выполнять действия с натуральными числами. Эти навыки позволяют уверенно находить промежуточные результаты и проверять их. Правила порядка действий нужны не только в числовых выражениях: они помогают вычислять значения выражений при решении уравнений и при работе с дробями. Если не соблюдать очередность, можно получить неверный результат даже при безошибочном счёте.
Почему умножение выполняют раньше сложения?
Так установлено правило порядка действий: умножение и деление имеют преимущество перед сложением и вычитанием. Благодаря этому запись выражения однозначно задаёт последовательность вычислений.
Что делать первым, если в выражении есть скобки?
Сначала вычисляют действия внутри скобок. Если скобок несколько, начинают с внутренних, а затем переходят к остальным действиям.
В каком порядке выполнять умножение и деление?
Умножение и деление имеют одинаковую очередность. Если в выражении есть оба действия, выполняй их слева направо.
Как считать выражение, где есть сложение и вычитание?
Если других действий и скобок нет, сложение и вычитание выполняют по порядку слева направо. Сначала найди результат первого действия, затем используй его в следующем.
Меняет ли результат перестановка действий в выражении?
Да, если изменить порядок действий, результат может стать другим. Например, в выражении 36 + 24 − 15 сначала нужно сложить, а затем вычесть; переставлять эти действия нельзя.
Разные арифметические действия
